Sea V el vértice de una pirámide con base triangular ABC. El segmento AV de longitud 1 cm es perpendicular a la base. Los ángulos de las caras laterales en el vértice V miden 45°. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

Dada la información del problema, tenemos una pirámide de base triangular con el vértice \( V \) sobre la línea perpendicular a la base triangular \( ABC \). Se nos dice que el segmento \( AV \) tiene una longitud de 1 cm, lo que indica que esta es la altura de la pirámide respecto a la base. Además, las caras laterales forman un ángulo de \( 45^\circ \) en el vértice \( V \).

### Pasos para encontrar el volumen:

1. **Altura de la pirámide**: Sabemos que la altura de la pirámide es \( h = 1 \) cm, ya que el segmento \( AV \) es perpendicular a la base \( ABC \).

2. **Relación con el ángulo de las caras laterales**: Las caras laterales en la pirámide forman un ángulo de \( 45^\circ \) en el vértice \( V \). Esto significa que los triángulos formados por el vértice \( V \), uno de los lados de la base (por ejemplo, \( AB \)), y el pie de la altura en la base, son triángulos rectángulos isósceles. 

3. **Dimensiones de la base**: Dado que las caras laterales forman un ángulo de \( 45^\circ \) con la altura, podemos usar la tangente del ángulo para relacionar la altura con los lados de la base. En un triángulo rectángulo isósceles, los catetos son iguales. Si tomamos el cateto horizontal como la mitad de la longitud de uno de los lados de la base, denotemos esta longitud como \( l/2 \).

   \[
   \tan(45^\circ) = \frac{l/2}{h} = 1
   \]

   Dado que \( h = 1 \) cm, se cumple que \( l/2 = 1 \), por lo que \( l = 2 \) cm.

4. **Área de la base**: La base es un triángulo equilátero (debido a la simetría del problema). La fórmula para el área de un triángulo equilátero de lado \( l \) es:

   \[
   A_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2
   \]
   Sustituyendo \( l = 2 \) cm:
   \[
   A_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3} \, \text{cm}^2
   \]

5. **Volumen de la pirámide**: El volumen \( V \) de una pirámide es:

   \[
   V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h
   \]
   Sustituyendo \( A_{\text{base}} = \sqrt{3} \, \text{cm}^2 \) y \( h = 1 \, \text{cm} \):

   \[
   V = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}^3
   \]

### Respuesta:
El volumen de la pirámide es \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) cm³.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar:
1. ¿Cómo cambiaría el volumen si la altura fuera el doble?
2. ¿Qué sucede con el área de la base si el ángulo en el vértice es de 60° en lugar de 45°?
3. ¿Cómo encontrarías el volumen de una pirámide con una base cuadrada en lugar de triangular?
4. ¿Cómo calcularías el volumen si la base no fuera un triángulo equilátero?
5. ¿Cómo influye el ángulo de inclinación de las caras laterales en el volumen de la pirámide?

**Tip**: Al trabajar con pirámides y conos, la clave está en relacionar la altura y la base para aplicar la fórmula del volumen.

Descubre cómo calcular el volumen de una pirámide con base triangular equilátera y ángulos de 45° en el vértice. Este problema utiliza conceptos de geometría y trigonometría, aplicando la fórmula del volumen de la pirámide y el área de un triángulo equilátero. Ideal para estudiantes de secundaria en los grados 9-12.

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