Vamos a detallar los cálculos del paso 3 al paso 4 para obtener el rotacional de un campo vectorial ( \mathbf{F} = F_u \mathbf{e}_u + F_v \mathbf{e}_v + F_w \mathbf{e}_w ) en coordenadas curvilíneas ortogonales. detalla el proceszo

Para calcular el rotacional de un campo vectorial \(\mathbf{F} = F_u \mathbf{e}_u + F_v \mathbf{e}_v + F_w \mathbf{e}_w\) en coordenadas curvilíneas ortogonales, seguimos los pasos usando la fórmula general del rotacional en tales sistemas. En coordenadas curvilíneas ortogonales \((u, v, w)\) con los factores de escala \(h_u, h_v, h_w\), la fórmula del rotacional \(\nabla \times \mathbf{F}\) está dada por:

\[
\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_w}
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_u & h_u \mathbf{e}_v & h_w \mathbf{e}_w \\
\partial_u & \partial_v & \partial_w \\
h_u F_u & h_v F_v & h_w F_w
\end{vmatrix}
\]

### Paso 3: Expansión del determinante

El determinante que se utiliza para calcular el rotacional es:

\[
\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_w} 
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_w \\
h_u \partial_u & h_v \partial_v & h_w \partial_w \\
h_u F_u & h_v F_v & h_w F_w
\end{vmatrix}
\]

### Paso 4: Desarrollo del determinante

Para desarrollar este determinante, calculamos cada uno de los componentes del vector resultante. Vamos a realizar el desarrollo de acuerdo a la regla de Sarrus para determinantes de 3x3. El resultado será un vector con tres componentes \(\mathbf{e}_u, \mathbf{e}_v\) y \(\mathbf{e}_w\).

#### Componente \(\mathbf{e}_u\):

\[
\mathbf{e}_u: \frac{1}{h_u h_v h_w} \left( \frac{\partial}{\partial v} (h_w F_w) - \frac{\partial}{\partial w} (h_v F_v) \right)
\]

#### Componente \(\mathbf{e}_v\):

\[
\mathbf{e}_v: \frac{1}{h_u h_v h_w} \left( \frac{\partial}{\partial w} (h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u} (h_w F_w) \right)
\]

#### Componente \(\mathbf{e}_w\):

\[
\mathbf{e}_w: \frac{1}{h_u h_v h_w} \left( \frac{\partial}{\partial u} (h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v} (h_u F_u) \right)
\]

### Ensamblaje del rotacional

Agrupando las componentes obtenemos:

\[
\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_w} \left[ \left( \frac{\partial}{\partial v} (h_w F_w) - \frac{\partial}{\partial w} (h_v F_v) \right) \mathbf{e}_u + \left( \frac{\partial}{\partial w} (h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u} (h_w F_w) \right) \mathbf{e}_v + \left( \frac{\partial}{\partial u} (h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v} (h_u F_u) \right) \mathbf{e}_w \right]
\]

### Interpretación del Resultado

El resultado de este desarrollo nos proporciona el rotacional del campo vectorial \(\mathbf{F}\) en coordenadas curvilíneas ortogonales, teniendo en cuenta los factores de escala \(h_u, h_v, h_w\).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta específica sobre este desarrollo?

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se derivan los factores de escala \(h_u, h_v, h_w\) para diferentes sistemas de coordenadas curvilíneas?
2. ¿Cuál es la interpretación física del rotacional en un campo vectorial?
3. ¿Cómo se aplican estos cálculos a sistemas de coordenadas específicas como esféricas o cilíndricas?
4. ¿Cuáles son algunos ejemplos de campos vectoriales en coordenadas curvilíneas ortogonales?
5. ¿Cómo se relaciona el rotacional con otras operaciones vectoriales como la divergencia y el gradiente?

### Tip

Para entender mejor el comportamiento del rotacional en diferentes sistemas de coordenadas, es útil practicar con ejemplos específicos, como el campo magnético en coordenadas cilíndricas o el flujo de fluidos en coordenadas esféricas.

Vamos a detallar los cálculos del paso 3 al paso 4 para obtener el rotacional de un campo vectorial ( \mathbf{F} = F_u \mathbf{e}_u + F_v \mathbf{e}_v + F_w \mathbf{e}_w ) en coordenadas curvilíneas ortogonales. Detalla el proceso.

Este artículo detalla el proceso de cálculo del rotacional de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas ortogonales, explicando el desarrollo paso a paso desde el determinante hasta la obtención de las componentes del vector. Se incluyen fórmulas clave y la aplicación de la regla de Sarrus.

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