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Campo Vetorial                     

Duas operações importantes do espaço 3D são o rotacional e o divergente. Para determinar o quanto os vetores se afastam ou se aproximam de um vetor normal de uma superfície, utiliza-se o rotacional. Suponha que você trabalhe para um grande instituto de pesquisas, que está desenvolvendo um acelerador de partículas. Antes de iniciar uma rodada de experimentos, a equipe resolveu determinar qual será o rotacional de uma partícula em determinado ponto de modo a prever seu comportamento previamente e ter um suporte eficiente de dados. Você foi escolhido para fazer os cálculos e recebeu a informação de que a função do campo vetorial é 

Para calcular o rotacional do campo vetorial \(\mathbf{F}(x, y, z)\), que é dado por:

\[
\mathbf{F}(x, y, z) = e^{x}z \sin(y) \mathbf{i} + e^{z} \cos(y) \mathbf{j} + x^2y^2z \mathbf{k},
\]

devemos aplicar a operação de rotacional \(\nabla \times \mathbf{F}\), onde \(\nabla\) é o operador nabla e \(\times\) denota o produto vetorial.

O rotacional de um campo vetorial \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}\) é dado por:

\[
\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{vmatrix}
\]

Substituindo os componentes \(P\), \(Q\) e \(R\) da função \(\mathbf{F}\):

- \(P = e^{x}z \sin(y)\)
- \(Q = e^{z} \cos(y)\)
- \(R = x^2y^2z\)

O cálculo do determinante será:

\[
\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)
\]

Vamos calcular cada um desses termos:

1. **Componente \( \mathbf{i} \):**
   \[
   \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2y^2z \right) = 2x^2yz
   \]
   \[
   \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( e^{z} \cos(y) \right) = e^{z} \cos(y)
   \]
   \[
   \text{Componente } \mathbf{i}: \, 2x^2yz - e^{z} \cos(y)
   \]

2. **Componente \( \mathbf{j} \):**
   \[
   \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2y^2z \right) = 2xy^2z
   \]
   \[
   \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( e^{x}z \sin(y) \right) = e^{x} \sin(y)
   \]
   \[
   \text{Componente } \mathbf{j}: \, 2xy^2z - e^{x} \sin(y)
   \]

3. **Componente \( \mathbf{k} \):**
   \[
   \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{z} \cos(y) \right) = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{x}z \sin(y) \right) = e^{x}z \cos(y)
   \]
   \[
   \text{Componente } \mathbf{k}: \, 0 - e^{x}z \cos(y)
   \]

Portanto, o rotacional de \(\mathbf{F}(x, y, z)\) é:

\[
\nabla \times \mathbf{F} = \left(2x^2yz - e^{z} \cos(y)\right)\mathbf{i} - \left(2xy^2z - e^{x} \sin(y)\right)\mathbf{j} - e^{x}z \cos(y)\mathbf{k}
\]

Se você tiver alguma dúvida ou quiser mais detalhes sobre o cálculo, estou à disposição!

### Perguntas Relacionadas:
1. O que significa fisicamente o rotacional de um campo vetorial?
2. Como interpretar o resultado obtido para o rotacional em um contexto físico?
3. Quais são as condições para que o rotacional de um campo vetorial seja nulo?
4. Como o rotacional está relacionado com a circulação de um campo vetorial?
5. Qual a diferença entre o rotacional e o divergente de um campo vetorial?
6. Em que situações práticas o cálculo do rotacional é importante?
7. Como o teorema de Stokes está relacionado ao rotacional?
8. Qual a interpretação geométrica do rotacional em termos de movimento de partículas?

**Dica:** Lembre-se de que o rotacional mede a tendência de um campo vetorial em "girar" ao redor de um ponto, o que é útil para entender fenômenos como vórtices em fluidos ou campos magnéticos.

Learn how to calculate the curl (rotational) of a vector field in 3D using detailed mathematical formulas and step-by-step derivations. This problem involves vector calculus concepts such as gradient, curl, and partial derivatives, applied in a scenario related to predicting particle behavior in a particle accelerator. Suitable for advanced undergraduate students and researchers.

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