Cuáles de los siguientes vectores en normal números reales al cubo son ortonormales?

Pregunta 3Respuesta

a.
i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1)


b.
v= (1,2), w= (1,0)


c.
w= (1,2,1), y= (1,0,1)


d.
u= (1,0), v= (1,3)

Para determinar cuáles de los conjuntos de vectores dados son ortonormales en \(\mathbb{R}^3\), debemos verificar dos condiciones:

1. **Ortogonalidad:** Los vectores deben ser ortogonales entre sí, es decir, su producto punto debe ser cero.
2. **Normalidad:** Cada vector debe tener una norma de 1, es decir, su magnitud debe ser 1.

Vamos a analizar cada opción:

**a.** \(i = (1, 0, 0)\); \(j = (0, 1, 0)\); \(k = (0, 0, 1)\)

- **Ortogonalidad:** 
  - \(i \cdot j = (1,0,0) \cdot (0,1,0) = 0\)
  - \(i \cdot k = (1,0,0) \cdot (0,0,1) = 0\)
  - \(j \cdot k = (0,1,0) \cdot (0,0,1) = 0\)
  
  Todos los productos son cero, por lo tanto, los vectores son ortogonales.

- **Normalidad:** 
  - \(\|i\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)
  - \(\|j\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1\)
  - \(\|k\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1\)
  
  Todos tienen norma 1, por lo tanto, los vectores son ortonormales.

**b.** \(v = (1,2)\), \(w = (1,0)\)

- Estos vectores no están en \(\mathbb{R}^3\) sino en \(\mathbb{R}^2\), por lo que no pueden ser considerados en este contexto.

**c.** \(w = (1,2,1)\), \(y = (1,0,1)\)

- **Ortogonalidad:** 
  - \(w \cdot y = (1,2,1) \cdot (1,0,1) = 1 \times 1 + 2 \times 0 + 1 \times 1 = 2\)
  
  El producto punto no es cero, por lo que no son ortogonales.

**d.** \(u = (1,0)\), \(v = (1,3)\)

- Nuevamente, estos vectores están en \(\mathbb{R}^2\), no en \(\mathbb{R}^3\).

**Conclusión:** Solo la opción **a** representa un conjunto de vectores ortonormales en \(\mathbb{R}^3\).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 8 preguntas relacionadas con el tema:

1. ¿Cómo se calcula el producto punto de dos vectores en \(\mathbb{R}^3\)?
2. ¿Qué es la norma de un vector y cómo se calcula?
3. ¿Cuál es la importancia de las bases ortonormales en el álgebra lineal?
4. ¿Cómo se puede comprobar si un conjunto de vectores es una base ortonormal?
5. ¿Qué aplicaciones tienen las bases ortonormales en la física y la ingeniería?
6. ¿Cómo afecta la dimensión del espacio vectorial en la ortonormalidad de un conjunto de vectores?
7. ¿Qué ocurre si un conjunto de vectores es ortogonal pero no ortonormal?
8. ¿Cómo se relaciona la ortonormalidad con la diagonalización de matrices?

**Tip:** Al trabajar en \(\mathbb{R}^n\), asegúrate siempre de que los vectores estén en el mismo espacio para verificar su ortonormalidad.

Descubre cómo determinar conjuntos de vectores ortonormales en el espacio tridimensional (R^3) con un ejemplo práctico resuelto paso a paso. Este problema cubre conceptos clave como ortogonalidad y la norma de un vector. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada.

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