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Determine donde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función  y coloque las respuestas correctas: 

Para resolver este problema, necesitamos determinar las siguientes características de la función \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 9x + 2 \):

1. **Intervalos donde la función es creciente o decreciente:**  
   Esto se determina encontrando la primera derivada \( f'(x) \) y luego analizando su signo.

2. **Intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo:**  
   Esto se determina con la segunda derivada \( f''(x) \), y analizando su signo.

Voy a proceder con los cálculos correspondientes:

### 1. Derivada primera: \( f'(x) \)
La derivada de \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 9x + 2 \) es:
\[
f'(x) = x^2 - 9
\]
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, resolvemos \( f'(x) = 0 \):
\[
x^2 - 9 = 0
\]
\[
x = \pm 3
\]
Por lo tanto, los puntos críticos son \( x = 3 \) y \( x = -3 \).

### 2. Derivada segunda: \( f''(x) \)
La derivada de \( f'(x) = x^2 - 9 \) es:
\[
f''(x) = 2x
\]
Para determinar los puntos de inflexión, resolvemos \( f''(x) = 0 \):
\[
2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]

### Análisis de las derivadas:
#### Crecimiento y decrecimiento:
- Si \( f'(x) > 0 \), la función es creciente.
- Si \( f'(x) < 0 \), la función es decreciente.

Veamos el signo de \( f'(x) = x^2 - 9 \) en los intervalos determinados por \( x = -3 \) y \( x = 3 \):
- Para \( x < -3 \), \( f'(x) > 0 \) (creciente).
- Para \( -3 < x < 3 \), \( f'(x) < 0 \) (decreciente).
- Para \( x > 3 \), \( f'(x) > 0 \) (creciente).

#### Concavidad:
- Si \( f''(x) > 0 \), la función es cóncava hacia arriba.
- Si \( f''(x) < 0 \), la función es cóncava hacia abajo.

Veamos el signo de \( f''(x) = 2x \):
- Para \( x < 0 \), \( f''(x) < 0 \) (cóncava hacia abajo).
- Para \( x > 0 \), \( f''(x) > 0 \) (cóncava hacia arriba).

### Resumen de resultados:
- **Creciente** en \( (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \).
- **Decreciente** en \( (-3, 3) \).
- **Cóncava hacia arriba** en \( (0, \infty) \).
- **Cóncava hacia abajo** en \( (-\infty, 0) \).

¿Te gustaría algún detalle adicional o más explicación sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el signo de la primera derivada en intervalos específicos?
2. ¿Qué significado tienen los puntos de inflexión en una función?
3. ¿Cómo afecta la concavidad a la gráfica de una función?
4. ¿Podrías aplicar este análisis a otra función cúbica?
5. ¿Cómo puedes verificar estos resultados gráficamente?

**Tip:** Cuando analices la concavidad, recuerda que los puntos donde cambia el signo de la segunda derivada suelen indicar puntos de inflexión.

Determine donde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función y coloque las respuestas correctas.

Learn how to determine where the function f(x) = 1/3 x^3 - 9x + 2 is increasing, decreasing, concave up, and concave down. This guide includes step-by-step solutions using calculus concepts such as first and second derivatives, critical points, and concavity. Suitable for Grades 11-12.

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