una urna contiene 3 bolas numeradas con los valores 2, 4 y 6. La población se compone de esos 3 números y se extraen todas las muestras posibles de tamaño dos con reposición. ¿Calcula el valor de la media, la varianza y la desviación típica poblacional?

Para resolver el problema, primero necesitamos entender cómo se forman las muestras y los cálculos relacionados con la media, varianza y desviación típica.

### Paso 1: Determinación de todas las muestras posibles
Dado que se extraen dos bolas con reposición, cada muestra puede incluir cualquiera de los números \( 2, 4, 6 \). Como hay reposición, podemos obtener pares repetidos. Las muestras posibles de tamaño 2 son:

- \( (2, 2), (2, 4), (2, 6) \)
- \( (4, 2), (4, 4), (4, 6) \)
- \( (6, 2), (6, 4), (6, 6) \)

En total hay \( 3 \times 3 = 9 \) combinaciones.

### Paso 2: Cálculo de la media muestral
La media poblacional \( \mu \) se calcula sumando todos los elementos de las muestras y dividiendo entre el total de observaciones. Las observaciones son las siguientes:

\[
2, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 6
\]

Sumamos todos los valores:

\[
Suma = 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 6 = 34
\]

El número total de observaciones es 9 (todas las muestras). Por lo tanto, la media poblacional es:

\[
\mu = \frac{34}{9} \approx 3.78
\]

### Paso 3: Cálculo de la varianza
La varianza poblacional \( \sigma^2 \) se calcula como el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada valor y la media poblacional. La fórmula es:

\[
\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2
\]

Donde \( N \) es el número de observaciones y \( x_i \) es cada valor. Usamos los valores observados:

1. \( (2 - 3.78)^2 \approx 3.17 \)
2. \( (2 - 3.78)^2 \approx 3.17 \)
3. \( (4 - 3.78)^2 \approx 0.05 \)
4. \( (2 - 3.78)^2 \approx 3.17 \)
5. \( (4 - 3.78)^2 \approx 0.05 \)
6. \( (6 - 3.78)^2 \approx 4.92 \)
7. \( (2 - 3.78)^2 \approx 3.17 \)
8. \( (6 - 3.78)^2 \approx 4.92 \)
9. \( (6 - 3.78)^2 \approx 4.92 \)

Sumamos estos valores:

\[
Suma = 3.17 + 3.17 + 0.05 + 3.17 + 0.05 + 4.92 + 3.17 + 4.92 + 4.92 = 27.54
\]

Dividimos entre el número de observaciones (9) para obtener la varianza:

\[
\sigma^2 = \frac{27.54}{9} \approx 3.06
\]

### Paso 4: Cálculo de la desviación típica
La desviación típica poblacional \( \sigma \) es la raíz cuadrada de la varianza:

\[
\sigma = \sqrt{3.06} \approx 1.75
\]

### Resumen
- Media poblacional: \( \mu \approx 3.78 \)
- Varianza poblacional: \( \sigma^2 \approx 3.06 \)
- Desviación típica poblacional: \( \sigma \approx 1.75 \)

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambiaría la media si se agregara un número más a la urna?
2. ¿Cuál es la diferencia entre la varianza poblacional y la varianza muestral?
3. ¿Qué sucede si las extracciones son sin reposición?
4. ¿Cómo afecta la varianza al interpretar un conjunto de datos?
5. ¿Por qué la desviación típica es más fácil de interpretar que la varianza?

**Tip**: Al calcular la varianza, es importante usar la media exacta en lugar de una aproximación para obtener resultados precisos.

Una urna contiene 3 bolas numeradas con los valores 2, 4 y 6. La población se compone de esos 3 números y se extraen todas las muestras posibles de tamaño dos con reposición. ¿Calcula el valor de la media, la varianza y la desviación típica poblacional?

Aprende a calcular la media, la varianza y la desviación típica poblacional para una urna que contiene bolas numeradas con los valores 2, 4 y 6. Descubre el procedimiento detallado, incluyendo las fórmulas estadísticas clave para resolver este problema. Adecuado para estudiantes de nivel secundario en grados 10-12.

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