Sea λ una constante. Dada la matriz (3-λ 2 3 ; 1 4-λ 3 ; 1 2 5-λ) encuentre el determinante.

La matriz que has proporcionado es:

\[
A = \begin{pmatrix}
3 - \lambda & 2 & 3 \\
1 & 4 - \lambda & 3 \\
1 & 2 & 5 - \lambda
\end{pmatrix}
\]

Para calcular el determinante de la matriz \(A\), podemos aplicar la fórmula del determinante de una matriz 3x3. Para una matriz general de la forma:

\[
\text{det}(A) = \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}
\]

El determinante es:

\[
\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
\]

Ahora, aplicamos esto a la matriz \(A\), donde:

\[
a = 3 - \lambda, \, b = 2, \, c = 3, \, d = 1, \, e = 4 - \lambda, \, f = 3, \, g = 1, \, h = 2, \, i = 5 - \lambda
\]

El determinante será:

\[
\text{det}(A) = (3 - \lambda) \left( (4 - \lambda)(5 - \lambda) - (3)(2) \right) - 2 \left( (1)(5 - \lambda) - (3)(1) \right) + 3 \left( (1)(2) - (4 - \lambda)(1) \right)
\]

Vamos a expandir paso a paso:

1. Calculamos el término \((4 - \lambda)(5 - \lambda) - 6\):
   \[
   (4 - \lambda)(5 - \lambda) = 20 - 9\lambda + \lambda^2
   \]
   \[
   (4 - \lambda)(5 - \lambda) - 6 = 20 - 9\lambda + \lambda^2 - 6 = 14 - 9\lambda + \lambda^2
   \]

2. Calculamos el término \((1)(5 - \lambda) - 3\):
   \[
   (1)(5 - \lambda) - 3 = 5 - \lambda - 3 = 2 - \lambda
   \]

3. Calculamos el término \((1)(2) - (4 - \lambda)(1)\):
   \[
   (1)(2) - (4 - \lambda) = 2 - (4 - \lambda) = 2 - 4 + \lambda = -2 + \lambda
   \]

Sustituyendo estos resultados en la expresión del determinante:

\[
\text{det}(A) = (3 - \lambda)(14 - 9\lambda + \lambda^2) - 2(2 - \lambda) + 3(-2 + \lambda)
\]

Vamos a expandir:

\[
\text{det}(A) = (3 - \lambda)(\lambda^2 - 9\lambda + 14) - 2(2 - \lambda) + 3(-2 + \lambda)
\]

Multiplicamos cada término:

\[
\text{det}(A) = (3)(\lambda^2) - (3)(9\lambda) + (3)(14) - \lambda(\lambda^2) + \lambda(9\lambda) - \lambda(14)
\]
\[
\text{det}(A) = 3\lambda^2 - 27\lambda + 42 - \lambda^3 + 9\lambda^2 - 14\lambda
\]

Agrupamos términos similares:

\[
\text{det}(A) = -\lambda^3 + (3\lambda^2 + 9\lambda^2) + (-27\lambda - 14\lambda) + 42
\]
\[
\text{det}(A) = -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 41\lambda + 42
\]

Finalmente, calculamos los términos restantes:

\[
-2(2 - \lambda) = -4 + 2\lambda, \quad 3(-2 + \lambda) = -6 + 3\lambda
\]

Sumamos todo:

\[
\text{det}(A) = (-\lambda^3 + 12\lambda^2 - 41\lambda + 42) + (-4 + 2\lambda) + (-6 + 3\lambda)
\]
\[
\text{det}(A) = -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 41\lambda + 42 - 4 + 2\lambda - 6 + 3\lambda
\]
\[
\text{det}(A) = -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 36\lambda + 32
\]

El determinante de la matriz es:

\[
\boxed{-\lambda^3 + 12\lambda^2 - 36\lambda + 32}
\]

---

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se relacionan los valores propios de una matriz con su determinante?
2. ¿Qué significa que el determinante de una matriz sea cero?
3. ¿Cómo afecta una constante \(\lambda\) a los valores propios de una matriz?
4. ¿Cuál es el significado geométrico del determinante de una matriz 3x3?
5. ¿Cómo cambia el determinante si se multiplica una fila por un escalar?

**Tip:** El determinante de una matriz triangular es simplemente el producto de los elementos en la diagonal principal.

Descubre cómo calcular el determinante de la matriz (3-λ 2 3 ; 1 4-λ 3 ; 1 2 5-λ) utilizando la fórmula del determinante para matrices 3x3. Explicación paso a paso que incluye álgebra lineal avanzada y la expansión de polinomios. Adecuado para estudiantes de Grados 11-12 o nivel universitario.

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