Sea λ una constante. Dada la matriz (3-λ 2 3 ; 1 4-λ 3 ; 1 2 5-λ) encuentre el determinante

Dada la matriz:

\[
A = \begin{pmatrix}
3 - \lambda & 2 & 3 \\
1 & 4 - \lambda & 3 \\
1 & 2 & 5 - \lambda
\end{pmatrix}
\]

Para encontrar el determinante de esta matriz, usaremos la regla de Sarrus, que se aplica a matrices \(3 \times 3\). El determinante se calcula de la siguiente manera:

\[
\text{Det}(A) = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) + (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}) + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}) - (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}) - (a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) - (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33})
\]

Sustituyendo los elementos de la matriz \(A\):

\[
\text{Det}(A) = ( (3 - \lambda) \cdot (4 - \lambda) \cdot (5 - \lambda) ) + ( 2 \cdot 3 \cdot 1 ) + ( 3 \cdot 1 \cdot 2 ) 
\]
\[
- ( 3 \cdot (4 - \lambda) \cdot 1 ) - ( (3 - \lambda) \cdot 3 \cdot 2 ) - ( 2 \cdot 1 \cdot (5 - \lambda) )
\]

Ahora procedamos a resolver este determinante paso a paso.El determinante de la matriz es:

\[
\text{Det}(A) = -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 36\lambda + 32
\]

¿Te gustaría más detalles sobre cómo se obtiene este resultado o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué es la regla de Sarrus para matrices \(3 \times 3\)?
2. ¿Cómo se puede resolver un polinomio cúbico como el que se obtiene del determinante?
3. ¿Cómo afecta el valor de \(\lambda\) al determinante de la matriz?
4. ¿Qué interpretación tiene el determinante en el contexto de matrices?
5. ¿Cómo se pueden encontrar los valores propios de esta matriz?

**Tip**: El determinante puede ayudarte a identificar si una matriz es invertible, ya que una matriz con determinante cero no tiene inversa.

Learn how to calculate the determinant of the matrix (3-λ, 2, 3; 1, 4-λ, 3; 1, 2, 5-λ) using Sarrus' rule. This detailed solution walks you through each step, from setting up the matrix to simplifying the determinant expression. Perfect for undergraduate students studying linear algebra.

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