Hallar todos los valores reales de x
 tales que

 

                          ∫x0(t^3−t)dt=1/3∫x√2(t−t^3)dt
.

El problema que planteas es una ecuación integral en la que se relacionan dos integrales definidas con límites variables. El objetivo es hallar los valores reales de \( x \) que satisfacen la ecuación:

\[
\int_0^x (t^3 - t) \, dt = \frac{1}{3} \int_{\sqrt{2}}^x (t - t^3) \, dt
\]

### Paso 1: Resolver las integrales
Comencemos resolviendo cada integral por separado.

1. **Primera integral:**

\[
\int_0^x (t^3 - t) \, dt = \int_0^x t^3 \, dt - \int_0^x t \, dt
\]

- \( \int_0^x t^3 \, dt = \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^x = \frac{x^4}{4} \)
- \( \int_0^x t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^x = \frac{x^2}{2} \)

Entonces:

\[
\int_0^x (t^3 - t) \, dt = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}
\]

2. **Segunda integral:**

\[
\int_{\sqrt{2}}^x (t - t^3) \, dt = \int_{\sqrt{2}}^x t \, dt - \int_{\sqrt{2}}^x t^3 \, dt
\]

- \( \int_{\sqrt{2}}^x t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{\sqrt{2}}^x = \frac{x^2}{2} - \frac{2}{2} = \frac{x^2}{2} - 1 \)
- \( \int_{\sqrt{2}}^x t^3 \, dt = \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{\sqrt{2}}^x = \frac{x^4}{4} - \frac{(\sqrt{2})^4}{4} = \frac{x^4}{4} - 1 \)

Entonces:

\[
\int_{\sqrt{2}}^x (t - t^3) \, dt = \left( \frac{x^2}{2} - 1 \right) - \left( \frac{x^4}{4} - 1 \right) = \frac{x^2}{2} - 1 - \frac{x^4}{4} + 1 = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}
\]

### Paso 2: Igualar las dos expresiones

Ahora que tenemos las dos integrales, volvemos a la ecuación original:

\[
\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right)
\]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 3 para eliminar el denominador del lado derecho:

\[
3 \left( \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}
\]

Simplificando:

\[
\frac{3x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}
\]

Multiplicamos todo por 4 para eliminar fracciones:

\[
3x^4 - 6x^2 = 2x^2 - x^4
\]

Reorganizamos términos:

\[
3x^4 + x^4 - 6x^2 - 2x^2 = 0
\]

\[
4x^4 - 8x^2 = 0
\]

Factorizamos la expresión:

\[
4x^2(x^2 - 2) = 0
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación

La ecuación factorizada nos da dos soluciones posibles:

1. \( 4x^2 = 0 \), que implica \( x = 0 \)
2. \( x^2 - 2 = 0 \), que implica \( x^2 = 2 \), o sea, \( x = \pm \sqrt{2} \)

### Solución final

Los valores de \( x \) que satisfacen la ecuación son:

\[
x = 0, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre los pasos?  
Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo se calcula una integral definida con límites variables?
2. ¿Qué técnicas de factorización se usan para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cómo se determina el signo de las soluciones en una ecuación cuadrática?
4. ¿Qué ocurre si \( x^2 = 0 \)? ¿Por qué es una solución válida?
5. ¿Cómo se utilizan las propiedades de simetría al resolver ecuaciones integrales?

**Tip**: Cuando simplificas ecuaciones con fracciones, multiplicar por un número que elimine denominadores puede agilizar los cálculos.

Hallar todos los valores reales de x tales que ∫x₀(t^3−t)dt=1/3∫x√2(t−t^3)dt.

Explore how to solve the integral equation ∫x₀(t^3−t)dt = 1/3∫x√2(t−t^3)dt. This detailed solution walks through the steps of solving definite integrals, applying the fundamental theorem of calculus, and finding real values for x, using polynomial integration. Ideal for advanced high school or early college students.

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