calcular la matriz inversa de (2 4 6; 4 5 6; 3 1 -2)

Para calcular la matriz inversa de la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \), seguiremos los siguientes pasos:

### 1. Calcular el determinante de \( A \)
Primero, encontramos el determinante de la matriz \( A \).

\[
\text{det}(A) = 2\left(5(-2) - 6(1)\right) - 4\left(4(-2) - 6(3)\right) + 6\left(4(1) - 5(3)\right)
\]

\[
\text{det}(A) = 2(-10 - 6) - 4(-8 - 18) + 6(4 - 15)
\]

\[
\text{det}(A) = 2(-16) - 4(-26) + 6(-11)
\]

\[
\text{det}(A) = -32 + 104 - 66 = 6
\]

### 2. Encontrar la matriz adjunta \( \text{adj}(A) \)
La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores. Calculamos cada cofactor.

\[
C_{11} = \text{det}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = 5(-2) - 6(1) = -10 - 6 = -16
\]
\[
C_{12} = -\text{det}\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = -(4(-2) - 6(3)) = -(-8 - 18) = 26
\]
\[
C_{13} = \text{det}\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 4(1) - 5(3) = 4 - 15 = -11
\]
\[
C_{21} = -\text{det}\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = -(4(-2) - 6(1)) = -(-8 - 6) = 14
\]
\[
C_{22} = \text{det}\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = 2(-2) - 6(3) = -4 - 18 = -22
\]
\[
C_{23} = -\text{det}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = -(2(1) - 4(3)) = -(2 - 12) = 10
\]
\[
C_{31} = \text{det}\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 4(6) - 6(5) = 24 - 30 = -6
\]
\[
C_{32} = -\text{det}\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = -(2(6) - 6(4)) = -(12 - 24) = 12
\]
\[
C_{33} = \text{det}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 2(5) - 4(4) = 10 - 16 = -6
\]

Entonces, la matriz de cofactores es:

\[
\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} -16 & 26 & -11 \\ 14 & -22 & 10 \\ -6 & 12 & -6 \end{pmatrix}
\]

La matriz adjunta es la traspuesta de esta matriz:

\[
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -16 & 14 & -6 \\ 26 & -22 & 12 \\ -11 & 10 & -6 \end{pmatrix}
\]

### 3. Calcular la matriz inversa

Finalmente, la matriz inversa de \( A \) es:

\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)
\]

\[
A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -16 & 14 & -6 \\ 26 & -22 & 12 \\ -11 & 10 & -6 \end{pmatrix}
\]

\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{8}{3} & \frac{7}{3} & -1 \\ \frac{13}{3} & -\frac{11}{3} & 2 \\ -\frac{11}{6} & \frac{5}{3} & -1 \end{pmatrix}
\]

Esta es la matriz inversa de \( A \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se calcula la matriz adjunta de una matriz 4x4?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para encontrar la matriz inversa?
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4. ¿Cómo se puede usar la matriz inversa en sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Qué propiedades tiene una matriz invertible?

**Tip:** Si el determinante de una matriz es cero, la matriz no tiene inversa y se denomina "singular".

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