De un recipiente de 3m de radio y 10m de profundidad sale agua a una tasa de 4 m3/mín.
a) Calcular la variación que experimenta la altura de la superficie y el radio cuando la profundidad del agua es 6 m.
b) Calcular la variación que experimenta el área de la superficie libre y el perímetro de la superficie libre, cuando la profundidad es de 6 m.


Para resolver este problema, primero es importante entender la relación entre las variables involucradas, como la tasa de cambio del volumen, la altura, el radio, el área de la superficie libre, y el perímetro de la superficie libre. Dado que el recipiente es cilíndrico, podemos utilizar las siguientes relaciones:

### Información dada:
- Radio del cilindro, \( R = 3 \) m
- Profundidad del cilindro, \( h = 10 \) m
- Tasa de salida del agua, \( \frac{dV}{dt} = -4 \, \text{m}^3/\text{min} \) (el signo negativo indica que el volumen está disminuyendo)

### a) Variación de la altura y el radio de la superficie
La relación entre el volumen \( V \) y la altura \( h \) de un cilindro es:
\[
V = \pi R^2 h
\]

Dado que el radio \( R \) es constante, la variación de la altura \( h \) se puede relacionar con la variación del volumen \( V \) a través de la siguiente derivada:

\[
\frac{dV}{dt} = \pi R^2 \frac{dh}{dt}
\]

Sustituyendo \( \frac{dV}{dt} = -4 \, \text{m}^3/\text{min} \) y \( R = 3 \, \text{m} \):

\[
-4 = \pi (3)^2 \frac{dh}{dt}
\]
\[
\frac{dh}{dt} = \frac{-4}{9\pi} \, \text{m/min}
\]

Esta es la tasa de cambio de la altura de la superficie del agua cuando la profundidad es 6 m.

Dado que el radio es constante en un cilindro, no hay variación en el radio.

### b) Variación del área de la superficie libre y del perímetro de la superficie libre

1. **Área de la superficie libre**: Es un círculo de radio \( R = 3 \) m, por lo tanto, el área \( A \) está dada por:
\[
A = \pi R^2
\]
Dado que \( R \) es constante, el área no varía, por lo que:
\[
\frac{dA}{dt} = 0
\]

2. **Perímetro de la superficie libre**: El perímetro \( P \) de la superficie libre también es constante, ya que es un círculo de radio \( R \):
\[
P = 2\pi R
\]
De nuevo, dado que \( R \) es constante:
\[
\frac{dP}{dt} = 0
\]

### Respuestas finales:
a) La variación que experimenta la altura de la superficie del agua es \(\frac{dh}{dt} = \frac{-4}{9\pi} \, \text{m/min}\). El radio no varía, por lo que \(\frac{dR}{dt} = 0\).

b) La variación que experimenta el área de la superficie libre es \( \frac{dA}{dt} = 0 \) y la variación del perímetro de la superficie libre es \( \frac{dP}{dt} = 0 \).

---

¿Te gustaría que profundice en alguno de estos pasos o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo influiría en las respuestas si el radio del cilindro no fuera constante?
2. ¿Cómo se calcula la tasa de cambio de volumen si la tasa de flujo no es constante?
3. ¿Cómo afecta una forma diferente del recipiente a las derivadas encontradas?
4. ¿Qué sucede si se introduce agua en lugar de extraerla?
5. ¿Cómo se relaciona la tasa de cambio de la altura con la tasa de cambio del área de la superficie en un cilindro no recto?
6. ¿Cómo varían los resultados si se tiene en cuenta la evaporación del agua?
7. ¿Cómo afectaría un cambio en la densidad del agua al problema?
8. ¿Cuál es la interpretación física del resultado obtenido para \(\frac{dh}{dt}\)?

### Tip:
Para problemas relacionados con tasas de cambio en geometría, es útil derivar todas las ecuaciones pertinentes antes de sustituir los valores numéricos.

Explore how to calculate changes in water surface height, cylinder radius, surface area, and perimeter using calculus and geometric formulas. This advanced high school level problem involves a cylindrical container with specific dimensions and water outflow rates.

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