De un recipiente de 3m de radio y 10 de profundidad sale agua a una tasa de 4 m3/mía
Calcular la variación que experimenta el área de la superficie libre y el perímetro de la superficie libre, cuando la profundidad es de 6 m


Primero, necesitamos entender cómo varía el área de la superficie libre y el perímetro de la superficie libre del agua en el recipiente a medida que disminuye la profundidad debido a la pérdida de agua.

### 1. Descripción del Problema:
- **Radio del recipiente**: \( R = 3 \, \text{m} \)
- **Profundidad inicial del agua**: \( h_{\text{inicial}} = 6 \, \text{m} \)
- **Tasa de salida de agua**: \( \frac{dV}{dt} = -4 \, \text{m}^3/\text{min} \)

### 2. Variación del volumen de agua:
El volumen de un cilindro (como es el recipiente) se calcula con la fórmula:
\[
V = \pi R^2 h
\]
Donde:
- \( R \) es el radio del recipiente.
- \( h \) es la profundidad del agua en un momento dado.

### 3. Tasa de cambio de la profundidad del agua (\( \frac{dh}{dt} \)):
Sabemos que el volumen cambia a una tasa de \( \frac{dV}{dt} = \pi R^2 \frac{dh}{dt} \).

Por lo tanto, podemos calcular la tasa de cambio de la profundidad del agua:
\[
\frac{dh}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{\pi R^2} = \frac{-4}{\pi \times 3^2} = \frac{-4}{9\pi} \, \text{m/min}
\]

### 4. Área de la superficie libre:
El área de la superficie libre es la superficie del agua que está en contacto con el aire, que para un cilindro es simplemente el área de un círculo:
\[
A = \pi R^2 = \pi (3)^2 = 9\pi \, \text{m}^2
\]

### 5. Perímetro de la superficie libre:
El perímetro de la superficie libre es la circunferencia de ese círculo:
\[
P = 2\pi R = 2\pi \times 3 = 6\pi \, \text{m}
\]

### 6. Variación del área de la superficie libre:
El área de la superficie libre es constante en este caso porque el radio del recipiente no cambia. Por lo tanto:
\[
\frac{dA}{dt} = 0 \, \text{m}^2/\text{min}
\]

### 7. Variación del perímetro de la superficie libre:
Similarmente, el perímetro de la superficie libre también es constante ya que depende del radio, que no varía:
\[
\frac{dP}{dt} = 0 \, \text{m}/\text{min}
\]

### Resumen:
- **Área de la superficie libre**: \( A = 9\pi \, \text{m}^2 \)
- **Perímetro de la superficie libre**: \( P = 6\pi \, \text{m} \)
- **Tasa de cambio del área**: \( \frac{dA}{dt} = 0 \, \text{m}^2/\text{min} \)
- **Tasa de cambio del perímetro**: \( \frac{dP}{dt} = 0 \, \text{m}/\text{min} \)

### Conclusión:
A medida que el agua se drena del recipiente, el área y el perímetro de la superficie libre no experimentan ninguna variación, ya que dependen únicamente del radio del recipiente, el cual es constante.

¿Te gustaría que profundice en algún aspecto o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para el área y el perímetro de un círculo?
2. ¿Qué ocurre si el recipiente no tiene forma cilíndrica?
3. ¿Cómo afectaría la tasa de cambio del volumen si la tasa de salida de agua fuese variable?
4. ¿Cómo se calcula el tiempo total que tardará en vaciarse el recipiente si se conoce la tasa de salida?
5. ¿Cómo afectaría el resultado si el radio del recipiente disminuyera hacia el fondo?
6. ¿Qué pasaría si el recipiente se inclinara?
7. ¿Cómo varía la profundidad del agua con el tiempo si la tasa de salida de agua cambia con el tiempo?
8. ¿Cómo cambiaría el problema si el recipiente tuviera una tapa con una forma no circular?

### Tip:
Recuerda que en muchos problemas, los cambios en volumen pueden afectar más que solo la altura: el área superficial y el perímetro también pueden cambiar si el recipiente no tiene una forma simple.

Explore how the surface area and perimeter of water in a cylindrical container vary with decreasing depth. Understand the mathematical calculations involved using cylinder volume formula and rate of change concepts. Suitable for high school students.

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