2. Usando el método de capas formular y evaluar la integral de la función dada para determinar el volumen al girar la región en torno a:
y=\mathbit{x}^\mathbf{2},\ \ \ \mathbit{y}=\ \mathbf{4}\mathbit{x}-\mathbit{x}^\mathbf{2} alrededor de la recta x=2


Para resolver este problema, vamos a utilizar el **método de las capas cilíndricas** para calcular el volumen generado al girar la región comprendida entre las curvas \( y = x^2 \) y \( y = 4x - x^2 \) alrededor de la recta \( x = 2 \).

### Paso 1: Encontrar los puntos de intersección
Primero, determinamos los puntos de intersección de las dos curvas para identificar los límites de integración.

\[ x^2 = 4x - x^2 \]

\[ x^2 + x^2 - 4x = 0 \]

\[ 2x^2 - 4x = 0 \]

\[ 2x(x - 2) = 0 \]

Entonces, los puntos de intersección son \( x = 0 \) y \( x = 2 \).

### Paso 2: Expresar la altura y el radio de las capas cilíndricas
El radio de cada capa cilíndrica es la distancia horizontal desde un punto en la región hasta la línea de rotación \( x = 2 \). Si tomamos un punto a una distancia \( x \) del eje \( y \), la distancia desde \( x \) hasta la línea \( x = 2 \) es \( r = 2 - x \).

La altura de la capa cilíndrica es la diferencia entre las dos funciones:

\[ h(x) = (4x - x^2) - x^2 = 4x - 2x^2 \]

### Paso 3: Formular la integral
El volumen \( V \) se calcula integrando el área de las capas cilíndricas a lo largo de la región de interés. La fórmula para el volumen usando capas cilíndricas es:

\[ V = 2\pi \int_{a}^{b} \text{radio} \times \text{altura} \, dx \]

Sustituyendo los valores:

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} (2 - x)(4x - 2x^2) \, dx \]

### Paso 4: Evaluar la integral

Primero, expandimos el integrando:

\[ (2 - x)(4x - 2x^2) = 8x - 4x^2 - 4x^2 + 2x^3 = 8x - 8x^2 + 2x^3 \]

Ahora, integramos término a término:

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} (8x - 8x^2 + 2x^3) \, dx \]

\[ V = 2\pi \left[ 4x^2 - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^4}{2} \right]_{0}^{2} \]

Evaluamos en los límites:

\[ V = 2\pi \left[ \left( 4(2)^2 - \frac{8(2)^3}{3} + \frac{(2)^4}{2} \right) - \left( 4(0)^2 - \frac{8(0)^3}{3} + \frac{(0)^4}{2} \right) \right] \]

\[ V = 2\pi \left[ \left( 16 - \frac{64}{3} + 8 \right) \right] \]

\[ V = 2\pi \left[ 24 - \frac{64}{3} \right] \]

\[ V = 2\pi \left[ \frac{72}{3} - \frac{64}{3} \right] \]

\[ V = 2\pi \left[ \frac{8}{3} \right] \]

\[ V = \frac{16\pi}{3} \]

### Respuesta final
El volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las curvas \( y = x^2 \) y \( y = 4x - x^2 \) alrededor de la recta \( x = 2 \) es \( \frac{16\pi}{3} \) unidades cúbicas.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo cambiaría el volumen si la región se girara alrededor del eje \( y = 2 \)?
2. ¿Qué diferencias habría al usar el método de discos en lugar del método de capas?
3. ¿Cómo se determinaría el volumen si el eje de rotación fuera \( y = 1 \)?
4. ¿Qué sucede con el volumen si una de las curvas se cambia por una recta como \( y = 3x \)?
5. ¿Cómo se interpreta geométricamente el resultado \( \frac{16\pi}{3} \)?

**Tip:** Cuando uses el método de capas, es útil asegurarte de que el radio y la altura están bien definidos para evitar errores en la integración.

Learn how to calculate the volume of revolution around x = 2 using the method of cylindrical shells. This problem involves integrating between the curves y = x^2 and y = 4x - x^2 to find the volume of the solid formed. Suitable for advanced college-level students studying integral calculus and volumes of revolution.

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