calcule o volume do solidos gerado pela rotação no eixo y da área indicadas: x=y^2-4

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da curva \( x = y^2 - 4 \) em torno do eixo \( y \), utilizamos o método de discos (ou cilindros). Vamos descrever o procedimento passo a passo:

### Passo 1: Entendendo a equação e o domínio

A equação fornecida é:

\[
x = y^2 - 4
\]

Rearranjando a equação para resolver \( y \) em função de \( x \), temos que:

\[
y = \pm \sqrt{x + 4}
\]

Isso define uma parábola no plano \( xy \). Agora, precisamos entender os limites de integração (valores de \( y \)) que determinam a região a ser rotacionada em torno do eixo \( y \). A rotação cria um sólido de revolução e, para isso, o método de cascas cilíndricas será o mais adequado.

### Passo 2: Definindo o volume

A fórmula para o volume de revolução em torno do eixo \( y \) usando o método de cascas cilíndricas é:

\[
V = 2\pi \int_{a}^{b} x(y) \cdot y \, dy
\]

Onde:
- \( x(y) \) é a função que define a curva (nesse caso, \( x = y^2 - 4 \)),
- \( y \) é a variável em que estamos integrando,
- \( a \) e \( b \) são os limites da área que está sendo rotacionada.

### Passo 3: Determinando os limites de integração

Os limites de integração são os valores de \( y \) onde a curva intercepta o eixo \( x \). Para encontrar esses pontos, resolvemos \( x = 0 \) na equação \( x = y^2 - 4 \):

\[
0 = y^2 - 4 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2
\]

Portanto, os limites de integração são \( y = -2 \) e \( y = 2 \).

### Passo 4: Aplicando a fórmula

Agora, substituímos \( x = y^2 - 4 \) na fórmula do volume:

\[
V = 2\pi \int_{-2}^{2} (y^2 - 4) \cdot y \, dy
\]

Vamos calcular esta integral:

1. Expanda o integrando:
\[
(y^2 - 4) \cdot y = y^3 - 4y
\]

2. Integre termo a termo:
\[
V = 2\pi \left[ \int_{-2}^{2} y^3 \, dy - 4 \int_{-2}^{2} y \, dy \right]
\]

Agora, vamos calcular cada integral separadamente:

- \( \int_{-2}^{2} y^3 \, dy = 0 \) (porque é uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico).
- \( \int_{-2}^{2} y \, dy = 0 \) (pelo mesmo motivo).

Logo:

\[
V = 2\pi (0 - 0) = 0
\]

### Conclusão

O volume do sólido gerado pela rotação da área entre a curva \( x = y^2 - 4 \) e o eixo \( y \), com limites entre \( y = -2 \) e \( y = 2 \), é **zero**. Isso ocorre porque a curva está simetricamente distribuída ao longo do eixo \( y \), e a rotação gera uma forma com volume nulo.

### Dúvidas ou mais detalhes?
Se precisar de mais informações ou algum esclarecimento sobre este cálculo, estou à disposição!

### Perguntas Relacionadas:
1. Como se calcula o volume se o eixo de rotação fosse \( x = 1 \)?
2. O que aconteceria se rotacionássemos ao redor do eixo \( x \)?
3. Como utilizar o método de discos para resolver volumes de revolução?
4. Como integrar funções ímpares em intervalos simétricos?
5. Qual é a diferença entre o método de discos e o de cascas cilíndricas?

### Dica:
Ao lidar com volumes de revolução, sempre verifique a simetria da função. Funções ímpares sobre intervalos simétricos muitas vezes resultam em integrais que se cancelam, como neste caso.

Discover how to calculate the volume of the solid generated by rotating the parabola x = y^2 - 4 around the y-axis using the cylindrical shells method. This detailed solution explores the concepts of calculus, integration, and symmetry, suitable for undergraduate calculus students.

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