RESUELVE EL EJERCICIO EN ESPAÑOL PASO POR PASO CON TODAS LAS OPERACIONES NECESARIAS

Analise the next exercise and complete the operations to verify the proposed Final answer .  
(3 pt) 
In an industrial setting, a piece of equipment requires lubrication over time to prevent friction and wear. The rate 
at which lubricant is applied over time is modeled by the function 𝐿(𝑡)=𝑡⋅𝑒−2𝑡, where L(t) is the rate of 
lubrication in liters per hour and t is the time in hours. 
 
Determine the total amount of lubricant applied to the machine over the first 3 hours of operation. 
 
Solution 
 
To find the total amount of lubricant applied over the first 3 hours, we need to integrate the lubrication rate 
function over the interval from 0 to 3 hours. 
 
1. Set up the integral: 
 
   The total amount of lubricant 𝐴  is given by: 
     
   𝐴=∫ L(𝑡) 3
 0
 𝑑𝑡 
     
   Substitute the given lubrication rate function: 
     
�
�=∫t⋅𝑒−2𝑡
 3
 0
 𝑑𝑡 
   
2. Apply integration by parts:  
For integration by parts, we identify parts of the integrand: 
�
�=𝑡 and 𝑑𝑣=𝑒(−2𝑡 )𝑑𝑡 
 
 
(…) Complete the calculations 
 
7. Final Answer: 
 
   The total amount of lubricant applied to the machine over the first 3 hours is          1
 4
 −5⋅𝑒−6
 4
 liters.

Vamos a resolver el ejercicio paso por paso, aplicando las operaciones necesarias para llegar a la respuesta final.

### Paso 1: Plantear la integral

Dado que la función que modela la tasa de lubricación es \( L(t) = t \cdot e^{-2t} \), la cantidad total de lubricante aplicada durante las primeras 3 horas se obtiene integrando \( L(t) \) desde \( t = 0 \) hasta \( t = 3 \):

\[
A = \int_{0}^{3} t \cdot e^{-2t} \, dt
\]

### Paso 2: Aplicar integración por partes

Para resolver esta integral, utilizaremos la técnica de **integración por partes**. Recordemos que la fórmula para integración por partes es:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

En nuestro caso, identificamos las partes de la integral de la siguiente manera:

- \( u = t \), por lo tanto \( du = dt \)
- \( dv = e^{-2t} \, dt \), por lo tanto \( v = \int e^{-2t} \, dt = -\frac{1}{2} e^{-2t} \)

### Paso 3: Sustituir y simplificar

Sustituimos \( u \), \( du \), \( v \), y \( dv \) en la fórmula de integración por partes:

\[
A = \int t \cdot e^{-2t} \, dt = t \left(-\frac{1}{2} e^{-2t}\right) \bigg|_0^3 + \frac{1}{2} \int_0^3 e^{-2t} \, dt
\]

La primera parte se evalúa como:

\[
-\frac{t}{2} e^{-2t} \bigg|_0^3 = -\frac{3}{2} e^{-6} + \frac{0}{2} e^{0} = -\frac{3}{2} e^{-6}
\]

Para la segunda parte, integramos \( e^{-2t} \) con respecto a \( t \):

\[
\int e^{-2t} \, dt = -\frac{1}{2} e^{-2t} \bigg|_0^3 = -\frac{1}{2} \left(e^{-6} - e^{0}\right) = -\frac{1}{2} \left(e^{-6} - 1\right)
\]

Multiplicamos por \( \frac{1}{2} \):

\[
\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2} \left(e^{-6} - 1\right) = -\frac{1}{4} \left(e^{-6} - 1\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-6}
\]

### Paso 4: Sumar las partes

Sumamos los resultados de ambos términos para obtener el valor de \( A \):

\[
A = -\frac{3}{2} e^{-6} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-6}\right) = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} e^{-6}
\]

### Respuesta Final

La cantidad total de lubricante aplicada a la máquina durante las primeras 3 horas es:

\[
\boxed{\frac{1}{4} - \frac{5}{4} e^{-6} \text{ litros}}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la integración por partes en otras integrales similares?
2. ¿Qué técnicas alternativas podrías usar para integrar funciones complejas?
3. ¿Cuál es la interpretación física del resultado obtenido?
4. ¿Cómo afectaría la variación de los límites de integración al resultado final?
5. ¿Qué sucede si cambias la función de tasa de lubricación a otra forma exponencial?

**Tip**: Cuando uses integración por partes, elige \( u \) y \( dv \) de manera que la derivada de \( u \) sea más simple y la integral de \( dv \) sea manejable.

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