Quelle sont la dimension et l’unité dans le S.I. d’une énergie?  • Estimer la valeur 24600, (on admettra log(2) = 0,3) • Simplifier 񑥠= 񑙽ћ32 49 • Soit la fonction y = 4x2-3x+1 ; déterminer l’expression de 񑑽Ѧ de la pente de la tangente à la courbe au point x = 2 ? 񑑽ѥ • Calculer la dérivée de xu par rapport à x puis par rapport à u • Calculer la dérivée de ln (2x+1) • Calculer l’intégrale de x + cos x entre 0 et π/2 et en déduire la valeur

Voici une réponse à chacune de vos questions :

1. **Dimensions et unité de l'énergie dans le S.I.**  
   - **Dimension** de l'énergie : \([M L^2 T^{-2}]\), où :
     - \(M\) est la masse (en kilogrammes),
     - \(L\) est la longueur (en mètres),
     - \(T\) est le temps (en secondes).
   - **Unité** de l'énergie dans le Système International (S.I.) : le **joule (J)**.  
     \( 1 \, \text{joule} = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \).

2. **Estimer la valeur de 24600 en utilisant \(\log(2) = 0,3\)**  
   - Si vous faites référence à l'estimation du logarithme de 24600, on peut utiliser les logarithmes décimaux :
     \[
     \log(24600) = \log(2.46 \times 10^4) = \log(2.46) + \log(10^4) = \log(2) + \log(1.23) + 4
     \]
     En admettant \(\log(2) \approx 0.3\) et \(\log(1.23)\) étant négligeable, on a environ :
     \[
     \log(24600) \approx 0.3 + 4 = 4.3
     \]
     Donc, \( 24600 \approx 10^{4.3} \), ce qui donne environ **20000 à 25000**.

3. **Simplification d'une expression mathématique**  
   L'expression fournie semble incomplète. Si vous souhaitez simplifier une autre expression spécifique, veuillez fournir plus de détails, et je pourrais vous assister plus précisément.

4. **Détermination de l'expression de la pente de la tangente pour \( y = 4x^2 - 3x + 1 \) au point \( x = 2 \)**  
   - La pente de la tangente à une courbe en un point est donnée par la dérivée de la fonction.
   - \( y'(x) = \frac{d}{dx} (4x^2 - 3x + 1) = 8x - 3 \).
   - À \( x = 2 \), la pente est :
     \[
     y'(2) = 8(2) - 3 = 16 - 3 = 13.
     \]
     Donc, la pente de la tangente au point \( x = 2 \) est **13**.

5. **Calcul de la dérivée de \( x^u \) par rapport à \( x \), puis par rapport à \( u \)**  
   - Dérivée par rapport à \( x \) :  
     \[
     \frac{d}{dx}(x^u) = u x^{u-1}.
     \]
   - Dérivée par rapport à \( u \) :  
     \[
     \frac{d}{du}(x^u) = x^u \ln(x).
     \]

6. **Calcul de la dérivée de \(\ln(2x + 1)\)**  
   La dérivée de \(\ln(2x + 1)\) par rapport à \(x\) est :
   \[
   \frac{d}{dx} \ln(2x + 1) = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 1}.
   \]

7. **Calcul de l'intégrale de \( x + \cos(x) \) entre \( 0 \) et \( \frac{\pi}{2} \)**  
   - L'intégrale de \( x + \cos(x) \) est :
     \[
     \int_0^{\pi/2} \left( x + \cos(x) \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \sin(x) \right]_0^{\pi/2}.
     \]
   - En évaluant aux bornes \( x = 0 \) et \( x = \frac{\pi}{2} \) :
     \[
     \frac{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}{2} + \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) - \left( \frac{0^2}{2} + \sin(0) \right) = \frac{\pi^2}{8} + 1.
     \]
     Donc, la valeur de l'intégrale est \( \frac{\pi^2}{8} + 1 \).

---

**Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur un calcul particulier ?**

Voici 5 questions relatives à ce sujet pour approfondir vos connaissances :
1. Comment calculer l'énergie potentielle d'un objet en fonction de sa masse, sa hauteur et l'accélération due à la gravité ?
2. Quelle est la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle ?
3. Comment utiliser les logarithmes naturels pour simplifier des équations exponentielles ?
4. Comment détermine-t-on l'équation de la tangente à une courbe pour des fonctions plus complexes ?
5. Quelle est la méthode générale pour calculer une dérivée implicite ?

**Tip** : Lors de l'évaluation de logarithmes, se rappeler des règles comme \(\log(ab) = \log(a) + \log(b)\) peut grandement simplifier les calculs.

Quelle sont la dimension et l’unité dans le S.I. d’une énergie?  • Estimer la valeur 24600, (on admettra log(2) = 0,3) • Simplifier 񑥠= 񑙽ћ32 49 • Soit la fonction y = 4x2-3x+1 ; déterminer l’expression de la pente de la tangente à la courbe au point x = 2 ? • Calculer la dérivée de xu par rapport à x puis par rapport à u • Calculer la dérivée de ln (2x+1) • Calculer l’intégrale de x + cos x entre 0 et π/2 et en déduire la valeur

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