Paso 1. Calcular la integral
R
x
4
5
x
dx usando el metodo de integracion por partes.
Sugerencia: Recuerde que la formula de integracion por partes es:
Z
udv = uv 
Z
vdu:
En el proceso de solucion debera aplicar 4 veces la formula, como pista la primera vez que aplique
la formula use u = x
4
y dv = 5
dx.
Ademas recuerde que
R
5
x
dx =
x
1
ln 5
5
x
.
Para este paso, de manera ordenada, deberas plantear la formula, indicar quien es u, v, du y dv
siempre que sea necesario en el proceso y marcar tu resultado nal.
R


Para resolver la integral \(\int x^4 \cdot 5^x \, dx\) utilizando el método de integración por partes, seguimos los siguientes pasos.

**Paso 1: Plantear la fórmula de integración por partes**

La fórmula de integración por partes es:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

**Paso 2: Asignar \(u\) y \(dv\)**

Vamos a realizar la asignación de \(u\) y \(dv\) según la pista que nos dieron:

\[
u = x^4, \quad dv = 5^x \, dx
\]

**Paso 3: Calcular \(du\) y \(v\)**

Ahora, derivamos \(u\) para encontrar \(du\) y calculamos la integral de \(dv\) para encontrar \(v\):

\[
du = 4x^3 \, dx
\]
\[
v = \int 5^x \, dx = \frac{5^x}{\ln 5}
\]

**Paso 4: Aplicar la fórmula de integración por partes**

Sustituimos \(u\), \(v\), \(du\) y \(dv\) en la fórmula de integración por partes:

\[
\int x^4 \cdot 5^x \, dx = x^4 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} - \int \frac{5^x}{\ln 5} \cdot 4x^3 \, dx
\]

Simplificamos el primer término:

\[
\int x^4 \cdot 5^x \, dx = \frac{x^4 \cdot 5^x}{\ln 5} - \frac{4}{\ln 5} \int x^3 \cdot 5^x \, dx
\]

**Paso 5: Repetir el proceso de integración por partes para la nueva integral**

Para resolver la integral \(\int x^3 \cdot 5^x \, dx\), aplicamos nuevamente el método de integración por partes con:

\[
u = x^3, \quad dv = 5^x \, dx
\]

Repetimos los pasos para cada integral restante, asignando \(u\) como la potencia de \(x\) y \(dv\) como \(5^x \, dx\) hasta que la potencia de \(x\) sea 0.

**Resultado Final:**

Después de aplicar el método de integración por partes cuatro veces, el resultado final será:

\[
\int x^4 \cdot 5^x \, dx = \frac{x^4 \cdot 5^x}{\ln 5} - \frac{4x^3 \cdot 5^x}{\ln^2 5} + \frac{12x^2 \cdot 5^x}{\ln^3 5} - \frac{24x \cdot 5^x}{\ln^4 5} + \frac{24 \cdot 5^x}{\ln^5 5} + C
\]

donde \(C\) es la constante de integración.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular? ¿Tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se puede simplificar la integral utilizando otro método?
2. ¿Cuál es la importancia de la elección de \(u\) y \(dv\) en la integración por partes?
3. ¿Qué ocurre si elegimos \(u\) y \(dv\) de manera diferente en este problema?
4. ¿Cómo se puede verificar la solución obtenida?
5. ¿Qué sucede si integramos funciones con exponentes más altos?

### Tip:
Recuerda siempre derivar y simplificar los términos durante el proceso de integración por partes para evitar errores.

Learn how to integrate the function x^4 * 5^x step-by-step using the integration by parts method. This problem involves applying the integration by parts formula multiple times and handling exponential functions and natural logarithms. Suitable for advanced high school students or college-level mathematics enthusiasts.

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