En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:
 F^' (t)=e^3t-8t  donde t está dada en años.
¿Cuántas lluvias habrá entre t = 3 t= 3 y t = 7t = 7?

Para encontrar la cantidad total de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \), debemos calcular la integral de la tasa de crecimiento de lluvias \( F'(t) = e^{3t} - 8t \) en el intervalo de \( t = 3 \) a \( t = 7 \).

Primero, encontramos la función \( F(t) \) integrando \( F'(t) \):

\[
F(t) = \int (e^{3t} - 8t) \, dt
\]

Vamos a integrar término por término:

1. La integral de \( e^{3t} \) es:

\[
\int e^{3t} \, dt = \frac{e^{3t}}{3}
\]

2. La integral de \( -8t \) es:

\[
\int -8t \, dt = -4t^2
\]

Sumando ambas partes, la función \( F(t) \) es:

\[
F(t) = \frac{e^{3t}}{3} - 4t^2 + C
\]

Donde \( C \) es la constante de integración. Para calcular la cantidad de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \), no necesitamos la constante \( C \), ya que se cancelará al restar \( F(7) \) y \( F(3) \). Ahora, evaluamos \( F(t) \) en los límites:

\[
F(7) = \frac{e^{21}}{3} - 4(7^2)
\]
\[
F(3) = \frac{e^{9}}{3} - 4(3^2)
\]

Luego, la cantidad total de lluvias \( \Delta F \) entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \) es:

\[
\Delta F = F(7) - F(3)
\]

Sustituyendo los valores, tenemos:

\[
\Delta F = \left(\frac{e^{21}}{3} - 4 \times 49\right) - \left(\frac{e^{9}}{3} - 4 \times 9\right)
\]
\[
\Delta F = \left(\frac{e^{21}}{3} - 196\right) - \left(\frac{e^{9}}{3} - 36\right)
\]
\[
\Delta F = \frac{e^{21}}{3} - \frac{e^{9}}{3} - 196 + 36
\]
\[
\Delta F = \frac{e^{21} - e^{9}}{3} - 160
\]

Por lo tanto, la cantidad total de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \) es:

\[
\Delta F = \frac{e^{21} - e^{9}}{3} - 160
\]

Si necesitas el resultado numérico aproximado, puedes sustituir los valores de \( e^{21} \) y \( e^{9} \):

- \( e^9 \approx 8103.08393 \)
- \( e^{21} \approx 1318815734.48 \)

Calculando:

\[
\Delta F \approx \frac{1318815734.48 - 8103.08393}{3} - 160
\]

\[
\Delta F \approx \frac{1318807631.39607}{3} - 160
\]

\[
\Delta F \approx 439602544.79869 - 160
\]

\[
\Delta F \approx 439602384.79869
\]

Por lo tanto, la cantidad aproximada de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \) es \( 439602384.80 \).

¿Te gustaría saber más detalles sobre el proceso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se integra una función exponencial?
2. ¿Qué significa la constante de integración \( C \) al integrar una función?
3. ¿Cómo afecta la tasa de crecimiento exponencial a la cantidad total de lluvias?
4. ¿Cuál es el propósito de evaluar una integral definida entre dos límites?
5. ¿Cómo se puede interpretar físicamente la integral de una tasa de crecimiento?

### Tip:
Recuerda que para integrar funciones complejas, es útil descomponerlas en partes más sencillas y realizar integraciones por separado.

Explore how to calculate rainfall growth over time using integral calculus and exponential functions. This problem involves integrating a growth rate function over a specified time interval to determine the total rainfall. Suitable for advanced high school students and learners interested in calculus.

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