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puedes resolver el ejercicio de la imagen?

Para resolver el problema, primero necesitamos calcular la integral dada por $ C(t) = \int (2t e^{t^2} + 2t) dt $.

Vamos a resolver esta integral:

1. La integral se divide en dos partes: $ \int 2t e^{t^2} dt $ y $ \int 2t dt $.

Para la primera parte:
\[
\int 2t e^{t^2} dt
\]
Utilizamos la sustitución $ u = t^2 $, por lo que $ du = 2t dt $. Entonces, la integral se convierte en:
\[
\int e^u du = e^u + C = e^{t^2} + C
\]

Para la segunda parte:
\[
\int 2t dt = t^2 + C
\]

Entonces, la integral completa es:
\[
C(t) = e^{t^2} + t^2 + C
\]

Dado que se sabe que la empresa al no producir tiene un costo de $1000, esto nos da la constante de integración $ C $. Si $ t = 0 $:
\[
C(0) = e^{0} + 0^2 + C = 1000
\]
\[
1 + C = 1000 \implies C = 999
\]

Así que la función de costo total es:
\[
C(t) = e^{t^2} + t^2 + 999
\]

Para determinar el costo total de producir 50 unidades, evaluamos $ C(50) $:
\[
C(50) = e^{50^2} + 50^2 + 999
\]

Calculamos $ e^{50^2} $:
\[
50^2 = 2500
\]
\[
e^{2500} \approx 1.39 \times 10^{1086}
\]

Entonces:
\[
C(50) \approx 1.39 \times 10^{1086} + 2500 + 999
\]
\[
C(50) \approx 1.39 \times 10^{1086}
\]

El costo total de producir 50 unidades es aproximadamente $ 1.39 \times 10^{1086} $ miles de dólares, lo cual es una cantidad extremadamente grande debido al crecimiento exponencial de la función $ e^{t^2} $.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas que podrías hacer:
1. ¿Cómo se realiza la sustitución en la integral?
2. ¿Qué significa la constante de integración $ C $?
3. ¿Cómo se calcula $ e^{t^2} $?
4. ¿Qué interpretación tiene el resultado obtenido?
5. ¿Qué pasa si la función de costo no crece exponencialmente?

Tip: Al resolver integrales, siempre verifica si una sustitución adecuada puede simplificar el problema antes de proceder con la integración directa.

Learn how to calculate the total cost function using integral calculus and handle exponential growth in cost functions. This problem explores the integral of a product function and exponential function application, demonstrating an advanced mathematical approach.

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