Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x² + 8y = 0 que es paralela a la recta 3x+4y-7 = 0.

Para resolver este problema, necesitamos seguir una serie de pasos que nos permitirán encontrar la longitud de la cuerda focal de la parábola que es paralela a la recta dada.

### Paso 1: Identificar la ecuación de la parábola
La ecuación dada de la parábola es:
\[
x^2 + 8y = 0
\]
Podemos reescribirla en su forma estándar:
\[
x^2 = -8y
\]
Esta es la ecuación de una parábola que abre hacia abajo con el vértice en el origen \((0, 0)\).

### Paso 2: Identificar la dirección de la cuerda focal
La recta dada es \(3x + 4y - 7 = 0\). Primero, vamos a encontrar su pendiente.

Podemos reescribir la ecuación en forma pendiente-intersección \(y = mx + b\):
\[
4y = -3x + 7 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}
\]
Así que la pendiente de esta recta es \(m = -\frac{3}{4}\).

### Paso 3: Encontrar la pendiente de la cuerda focal
Dado que la cuerda focal es paralela a esta recta, tendrá la misma pendiente, \(m = -\frac{3}{4}\).

### Paso 4: Encontrar la longitud de la cuerda focal
Para hallar la longitud de la cuerda focal, utilizamos la fórmula:
\[
L = \frac{2p}{\sin \theta}
\]
donde:
- \(p\) es el valor absoluto de la distancia focal de la parábola, que en este caso es \(\frac{|4p|}{4} = \frac{|-8|}{4} = 2\).
- \(\theta\) es el ángulo de la inclinación de la cuerda respecto al eje \(y\).

Primero calculamos \(\theta\), usando la pendiente \(m = -\frac{3}{4}\), que relacionamos con \(\tan \theta = -\frac{3}{4}\). El ángulo \(\theta\) correspondiente es:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right)
\]
La longitud de la cuerda focal es entonces:
\[
L = \frac{2 \times 2}{|\sin(\tan^{-1}(-\frac{3}{4}))|}
\]

### Paso 5: Calcular la longitud exacta
Sabemos que \(\sin(\tan^{-1}(m)) = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\), así que:
\[
\sin \theta = \frac{\frac{-3}{4}}{\sqrt{1+\left(\frac{-3}{4}\right)^2}} = \frac{-3}{5}
\]
Por lo tanto, la longitud de la cuerda focal es:
\[
L = \frac{4}{\left|\frac{-3}{5}\right|} = \frac{4 \times 5}{3} = \frac{20}{3}
\]

### Respuesta final:
La longitud de la cuerda focal es \( \boxed{\frac{20}{3}} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define la cuerda focal de una parábola?
2. ¿Qué sucede si la cuerda focal no es paralela a ninguna recta dada?
3. ¿Cómo se encuentra la distancia focal de una parábola dada su ecuación?
4. ¿Qué relación tiene la pendiente de una recta con el ángulo \(\theta\)?
5. ¿Cómo se determina la longitud de una cuerda que no es focal?
6. ¿Qué otros métodos pueden utilizarse para hallar la longitud de una cuerda en una parábola?
7. ¿Qué pasa si la parábola tiene una orientación diferente, por ejemplo, horizontal?
8. ¿Cómo afecta el valor de \(p\) a las propiedades de la parábola?

**Tip:** Al resolver problemas de geometría analítica, es útil tener en cuenta la relación entre las pendientes de las rectas y los ángulos que forman con los ejes coordenados.

Learn how to find the length of the focal chord parallel to the line 3x + 4y - 7 = 0 in a parabola x² + 8y = 0. Step-by-step solution including the derivation of the chord length formula and trigonometric calculations. Suitable for high school students studying parabolas and trigonometry.

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