2. Determinar la serie de Fourier de la función:
f(X)={█(0  si-π≤x<0@X^2   si O≤x≤π)┤

La función dada es:

\[ f(x) = \begin{cases} 
0, & \text{si } -\pi \leq x < 0, \\
x^2, & \text{si } 0 \leq x \leq \pi.
\end{cases} \]

Para determinar la serie de Fourier, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Determinar los coeficientes \( a_0 \), \( a_n \) y \( b_n \).

Dado que la función es definida en el intervalo \( [-\pi, \pi] \), su serie de Fourier tendrá la forma:

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right), \]

donde:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx, \]

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \]

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx. \]

### 2. Calcular el coeficiente \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx. \]

Dividimos la integral en dos partes:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \, dx + \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx \right). \]

La primera integral es nula:

\[ \int_{-\pi}^{0} 0 \, dx = 0. \]

Entonces,

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx. \]

Calculando la integral:

\[ \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^3}{3}. \]

Por lo tanto:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3}. \]

### 3. Calcular los coeficientes \( a_n \):

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx. \]

Nuevamente, dividimos la integral en dos partes:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \cdot \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx \right). \]

La primera integral es nula, por lo tanto:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx. \]

Esta integral se puede resolver usando integración por partes repetidas.

### 4. Calcular los coeficientes \( b_n \):

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx. \]

Nuevamente, dividimos la integral en dos partes:

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \cdot \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx \right). \]

La primera integral es nula, por lo tanto:

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx. \]

Esta integral también se resuelve usando integración por partes, pero dado que la función es par, \( b_n = 0 \) para todos los \( n \).

### 5. Expresión final de la serie de Fourier:

La serie de Fourier de la función es:

\[ f(x) \sim \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx), \]

donde \( a_n \) se calcula como:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx. \]

¿Te gustaría que profundice más en alguno de los pasos o necesitas más detalles?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se resuelve la integral para calcular \( a_n \)?
2. ¿Por qué el coeficiente \( b_n \) es cero en este caso?
3. ¿Cómo se aplican las propiedades de simetría en el cálculo de series de Fourier?
4. ¿Qué sucede si la función es impar en lugar de par?
5. ¿Cómo se puede aproximar la función con un número finito de términos de la serie de Fourier?

**Tip:** Para funciones periódicas, la serie de Fourier permite descomponerlas en sumas de senos y cosenos, simplificando el análisis en frecuencia.

Aprende cómo determinar la serie de Fourier para la función f(x) que es 0 en el intervalo [-π, 0) y x^2 en el intervalo [0, π]. Incluye pasos detallados de integración y aplicación del teorema de series de Fourier. Adecuado para niveles educativos avanzados de pregrado.

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