Una persona debe de cancelar $1´000.000 en 2 trimestres, $2’000.000 en 2 cuatrimestres,
$500.000 en 3 trimestres, $200.000 en el semestre 2. Por la dificultad de carácter
económico, ofrece cancelar su obligación a través del pago de $500.000 hoy, $100.000 en
el trimestre 2, en el mes 11 $300.000 y el saldo en 12 meses.
¿Cuál debe de ser el valor del pago para que las deudas queden canceladas?
Suponga una tasa de financiamiento del 2% efectiva mensual.

Para resolver este problema, necesitamos igualar el valor presente de las deudas originales con el valor presente de los pagos propuestos, utilizando una tasa de financiamiento efectiva del 2% mensual.

### Paso 1: Calcular el valor presente de las deudas originales

La tasa de financiamiento efectiva mensual es $i = 2\% = 0.02$.

1. **Deuda de $1,000,000 en 2 trimestres (6 meses):**
   
   El valor presente ($VP_1$) se calcula usando la fórmula del valor presente:

   \[
   VP_1 = \frac{1,000,000}{(1 + i)^6}
   \]

2. **Deuda de $2,000,000 en 2 cuatrimestres (8 meses):**

   El valor presente ($VP_2$) es:

   \[
   VP_2 = \frac{2,000,000}{(1 + i)^8}
   \]

3. **Deuda de $500,000 en 3 trimestres (9 meses):**

   El valor presente ($VP_3$) es:

   \[
   VP_3 = \frac{500,000}{(1 + i)^9}
   \]

4. **Deuda de $200,000 en el semestre 2 (12 meses):**

   El valor presente ($VP_4$) es:

   \[
   VP_4 = \frac{200,000}{(1 + i)^{12}}
   \]

La suma del valor presente de todas las deudas es:

\[
VP_{\text{deudas}} = VP_1 + VP_2 + VP_3 + VP_4
\]

### Paso 2: Calcular el valor presente de los pagos propuestos

1. **Pago de $500,000 hoy (mes 0):**

   El valor presente es simplemente $500,000$.

2. **Pago de $100,000 en el trimestre 2 (mes 3):**

   \[
   VP_{p2} = \frac{100,000}{(1 + i)^3}
   \]

3. **Pago de $300,000 en el mes 11:**

   \[
   VP_{p3} = \frac{300,000}{(1 + i)^{11}}
   \]

4. **Pago restante ($X$) en el mes 12:**

   \[
   VP_{p4} = \frac{X}{(1 + i)^{12}}
   \]

La suma del valor presente de los pagos propuestos es:

\[
VP_{\text{pagos}} = 500,000 + VP_{p2} + VP_{p3} + VP_{p4}
\]

### Paso 3: Igualar los valores presentes y resolver para $X$

Igualamos el valor presente de las deudas con el valor presente de los pagos:

\[
VP_{\text{deudas}} = VP_{\text{pagos}}
\]

Sustituyendo:

\[
\frac{1,000,000}{(1 + 0.02)^6} + \frac{2,000,000}{(1 + 0.02)^8} + \frac{500,000}{(1 + 0.02)^9} + \frac{200,000}{(1 + 0.02)^{12}} = 500,000 + \frac{100,000}{(1 + 0.02)^3} + \frac{300,000}{(1 + 0.02)^{11}} + \frac{X}{(1 + 0.02)^{12}}
\]

### Paso 4: Resolver para $X$

Calculemos estos valores para encontrar $X$. 

#### Cálculos

Primero, calculemos cada término:

\[
(1 + 0.02)^3 \approx 1.0612, \quad (1 + 0.02)^6 \approx 1.1262, \quad (1 + 0.02)^8 \approx 1.1717, \quad (1 + 0.02)^9 \approx 1.1941, \quad (1 + 0.02)^{11} \approx 1.2434, \quad (1 + 0.02)^{12} \approx 1.2682
\]

Ahora, calculemos cada valor presente:

\[
VP_1 = \frac{1,000,000}{1.1262} \approx 888,486.4
\]

\[
VP_2 = \frac{2,000,000}{1.1717} \approx 1,707,865.0
\]

\[
VP_3 = \frac{500,000}{1.1941} \approx 418,648.5
\]

\[
VP_4 = \frac{200,000}{1.2682} \approx 157,711.0
\]

\[
VP_{\text{deudas}} = 888,486.4 + 1,707,865.0 + 418,648.5 + 157,711.0 = 3,172,710.9
\]

Para los pagos propuestos:

\[
VP_{p2} = \frac{100,000}{1.0612} \approx 94,228.5
\]

\[
VP_{p3} = \frac{300,000}{1.2434} \approx 241,253.8
\]

\[
VP_{p4} = \frac{X}{1.2682}
\]

Sumando todos los valores:

\[
VP_{\text{pagos}} = 500,000 + 94,228.5 + 241,253.8 + \frac{X}{1.2682} = 835,482.3 + \frac{X}{1.2682}
\]

Igualando $VP_{\text{deudas}}$ y $VP_{\text{pagos}}$:

\[
3,172,710.9 = 835,482.3 + \frac{X}{1.2682}
\]

Restando $835,482.3$ de ambos lados:

\[
3,172,710.9 - 835,482.3 = \frac{X}{1.2682}
\]

\[
2,337,228.6 = \frac{X}{1.2682}
\]

Finalmente, resolviendo para $X$:

\[
X = 2,337,228.6 \times 1.2682 \approx 2,962,086.4
\]

Por lo tanto, el valor del pago restante $X$ para que las deudas queden canceladas es **$2,962,086.4**.

### ¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la tasa de financiamiento al valor presente de una deuda?
2. ¿Cuál sería el valor de $X$ si la tasa de financiamiento fuese del 3% efectiva mensual?
3. ¿Cómo calcular el valor presente de una deuda con pagos periódicos variables?
4. ¿Qué es una tasa de interés efectiva y cómo se diferencia de una tasa de interés nominal?
5. ¿Cómo se pueden estructurar pagos para minimizar el valor presente de una deuda?

### Tip:

Recuerda que la tasa de interés efectiva mensual compuesta afecta significativamente el valor presente de los pagos futuros. Es importante entender cómo pequeñas diferencias en la tasa pueden impactar el total de la deuda.

Learn how to calculate debt payments using present value calculations with a 2% monthly effective interest rate. This problem involves determining the payment amount needed to settle various debts over different periods. Suitable for undergraduate students studying financial mathematics.

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