É comum no estudo do cálculo integral, associarmos o resultado de uma integral à área sob o gráfico de uma função. Pode-se utilizar esta ideia, por exemplo, para modelar sistemas de resfriamentos em processos industriais, determinando-se a área de elementos que realizam troca de calor (aletas) com o ambiente nestes sistemas.

Considere que a geometria de aleta de resfriamento seja definida pela área delimitada pelo gráfico da função f(x) = – 5x2 + 10x e o eixo x, com x dado em polegadas e begin mathsize 14px style 0 less or equal than x less or equal than 2 end style. Qual o valor da área desta aleta?

	a.	
8/3 polegadas

	b.	
16/3 polegadas

	c.	
20/3 polegadas

	d.	
32/3 polegadas

	e.	
10/3 polegadas



Para encontrar a área da aleta delimitada pela função \( f(x) = -5x^2 + 10x \) e o eixo \( x \), no intervalo de \( x \in [0, 2] \), podemos calcular a integral definida dessa função nesse intervalo.

A área sob a curva é dada pela integral:

\[
A = \int_{0}^{2} (-5x^2 + 10x) \, dx
\]

Agora, vamos resolver essa integral.

1. Primeiro, integramos termo a termo:
\[
\int (-5x^2) \, dx = -\frac{5}{3}x^3
\]
\[
\int (10x) \, dx = 5x^2
\]

2. A função primitiva é:
\[
F(x) = -\frac{5}{3}x^3 + 5x^2
\]

3. Agora, aplicamos os limites de integração:
\[
A = \left[ -\frac{5}{3}x^3 + 5x^2 \right]_{0}^{2}
\]

Substituindo o valor \( x = 2 \) e \( x = 0 \):

\[
A = \left( -\frac{5}{3}(2^3) + 5(2^2) \right) - \left( -\frac{5}{3}(0^3) + 5(0^2) \right)
\]

\[
A = \left( -\frac{5}{3}(8) + 5(4) \right)
\]

\[
A = \left( -\frac{40}{3} + 20 \right)
\]

\[
A = \left( -\frac{40}{3} + \frac{60}{3} \right)
\]

\[
A = \frac{20}{3} \, \text{polegadas}^2
\]

Portanto, a área da aleta é \( \frac{20}{3} \) polegadas quadradas.

A resposta correta é:

**c. \( \frac{20}{3} \) polegadas**

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição!

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**Dica:** Sempre verifique se a função está acima ou abaixo do eixo \( x \) no intervalo, pois isso pode afetar o sinal da integral.

É comum no estudo do cálculo integral, associarmos o resultado de uma integral à área sob o gráfico de uma função. Pode-se utilizar esta ideia, por exemplo, para modelar sistemas de resfriamentos em processos industriais, determinando-se a área de elementos que realizam troca de calor (aletas) com o ambiente nestes sistemas.

Considere que a geometria de aleta de resfriamento seja definida pela área delimitada pelo gráfico da função f(x) = – 5x² + 10x e o eixo x, com x dado em polegadas e 0 ≤ x ≤ 2. Qual o valor da área desta aleta?

    a. 8/3 polegadas
    b. 16/3 polegadas
    c. 20/3 polegadas
    d. 32/3 polegadas
    e. 10/3 polegadas

Learn how to calculate the area under the curve for the function f(x) = –5x² + 10x, modeling a cooling fin geometry. This step-by-step solution includes the definite integral process and uses the fundamental theorem of calculus. Suitable for students in Grades 10-12.

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