Hallar el área delimitada por la gráfica 2 4 ) ( x x x f − = y el eje x.  

Para hallar el área delimitada por la gráfica de la función \( f(x) = x(4 - x^2) \) y el eje \( x \), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Determinación de los puntos de intersección
Primero, encontramos los puntos donde la función intersecta al eje \( x \) (es decir, cuando \( f(x) = 0 \)).

\[
x(4 - x^2) = 0
\]

Esto se cumple cuando:

\[
x = 0 \quad \text{ó} \quad 4 - x^2 = 0
\]

Resolviendo \( 4 - x^2 = 0 \):

\[
x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2
\]

Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = -2 \), \( x = 0 \), y \( x = 2 \).

### 2. Cálculo del área
El área está dada por la integral definida de \( f(x) \) entre \( x = -2 \) y \( x = 2 \):

\[
A = \int_{-2}^{2} x(4 - x^2) \, dx
\]

### 3. Resolución de la integral
Primero, expandimos el integrando:

\[
x(4 - x^2) = 4x - x^3
\]

Entonces, la integral se convierte en:

\[
A = \int_{-2}^{2} (4x - x^3) \, dx
\]

Debido a que \( 4x \) es una función impar (es decir, simétrica respecto al origen y cambia de signo en ambos lados), su integral sobre el intervalo \( [-2, 2] \) es cero. Por lo tanto, solo necesitamos integrar \( -x^3 \), que es una función par (no cambia de signo), lo que nos permite simplificar el cálculo:

\[
A = 2 \int_0^2 (4x - x^3) \, dx
\]

Ahora, integramos término por término:

\[
\int_0^2 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_0^2 = 2(2^2) = 8
\]

\[
\int_0^2 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} = 4
\]

Entonces, el área total es:

\[
A = 2(8 - 4) = 2(4) = 8
\]

### Resultado
El área delimitada por la gráfica de la función \( f(x) = x(4 - x^2) \) y el eje \( x \) es \( \boxed{8} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir la información:
1. ¿Cómo se puede interpretar el signo del área cuando la función está por debajo del eje \( x \)?
2. ¿Qué sucede si integramos una función impar en un intervalo simétrico?
3. ¿Cómo se verifica geométricamente el área bajo una curva?
4. ¿Qué ocurre si cambiamos los límites de integración en este problema?
5. ¿Cómo se aplica el teorema fundamental del cálculo en integrales definidas?

**Tip:** Cuando una función es impar, su integral en un intervalo simétrico siempre será cero.

Hallar el área delimitada por la gráfica 2 4 ) ( x x x f − = y el eje x.

This step-by-step guide explains how to find the area bounded by the curve f(x) = x(4 - x^2) and the x-axis using definite integration. Learn about the role of symmetry and the properties of odd and even functions. Ideal for high school students in Grades 10-12.

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