calcula el área de los siguientes intervalos 
1. f(x)=4 en 0≤x≤4 con 8 intervalos 2.  f(x)=x²+3 en el intervalo -2≤x≤2 con 8 intervalos 
3. f(x) = (x - 5)² en O≤x≤3 con 6 intervalos4.  f(x) = 4 - x² en el intervalo  -1≤x≤2

Para calcular el área bajo la curva de una función en un intervalo dado, utilizaremos el método de la **regla del trapecio**, que aproxima el área dividiendo el intervalo en varios subintervalos y sumando las áreas de los trapecios formados.

### 1. \( f(x) = 4 \) en \( 0 \leq x \leq 4 \) con 8 intervalos

Dividimos el intervalo en 8 partes iguales:
- Longitud del intervalo: \( \Delta x = \frac{4 - 0}{8} = 0.5 \)

Dado que \( f(x) = 4 \) es constante, el área es simplemente la base del intervalo por la altura, sumada en cada uno de los subintervalos.

\[
\text{Área} = f(x) \cdot \Delta x \cdot 8 = 4 \cdot 0.5 \cdot 8 = 16
\]

**Área total = 16**

---

### 2. \( f(x) = x^2 + 3 \) en el intervalo \( -2 \leq x \leq 2 \) con 8 intervalos

Dividimos el intervalo \( [-2, 2] \) en 8 partes:
- Longitud del intervalo: \( \Delta x = \frac{2 - (-2)}{8} = 0.5 \)

Calculamos los puntos de la partición:

\[
x_0 = -2, \, x_1 = -1.5, \, x_2 = -1, \, x_3 = -0.5, \, x_4 = 0, \, x_5 = 0.5, \, x_6 = 1, \, x_7 = 1.5, \, x_8 = 2
\]

Calculamos los valores de la función \( f(x) = x^2 + 3 \) en cada punto:

\[
f(-2) = 7, \, f(-1.5) = 5.25, \, f(-1) = 4, \, f(-0.5) = 3.25, \, f(0) = 3, \, f(0.5) = 3.25, \, f(1) = 4, \, f(1.5) = 5.25, \, f(2) = 7
\]

Usando la regla del trapecio:

\[
\text{Área} \approx \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2 \left( f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_7) \right) + f(x_8) \right]
\]

\[
\text{Área} \approx \frac{0.5}{2} \left[ 7 + 2(5.25 + 4 + 3.25 + 3 + 3.25 + 4 + 5.25) + 7 \right]
\]

Calculamos el área total.

---

### 3. \( f(x) = (x - 5)^2 \) en \( 0 \leq x \leq 3 \) con 6 intervalos

Dividimos el intervalo \( [0, 3] \) en 6 partes:
- Longitud del intervalo: \( \Delta x = \frac{3 - 0}{6} = 0.5 \)

Calculamos los puntos de la partición:

\[
x_0 = 0, \, x_1 = 0.5, \, x_2 = 1, \, x_3 = 1.5, \, x_4 = 2, \, x_5 = 2.5, \, x_6 = 3
\]

Calculamos los valores de la función \( f(x) = (x - 5)^2 \):

\[
f(0) = 25, \, f(0.5) = 20.25, \, f(1) = 16, \, f(1.5) = 12.25, \, f(2) = 9, \, f(2.5) = 6.25, \, f(3) = 4
\]

Usamos la regla del trapecio:

\[
\text{Área} \approx \frac{0.5}{2} \left[ 25 + 2(20.25 + 16 + 12.25 + 9 + 6.25) + 4 \right]
\]

Calculamos el área total.

---

### 4. \( f(x) = 4 - x^2 \) en el intervalo \( -1 \leq x \leq 2 \)

Dividimos el intervalo \( [-1, 2] \) en 6 partes:
- Longitud del intervalo: \( \Delta x = \frac{2 - (-1)}{6} = 0.5 \)

Calculamos los puntos de la partición:

\[
x_0 = -1, \, x_1 = -0.5, \, x_2 = 0, \, x_3 = 0.5, \, x_4 = 1, \, x_5 = 1.5, \, x_6 = 2
\]

Calculamos los valores de la función \( f(x) = 4 - x^2 \):

\[
f(-1) = 3, \, f(-0.5) = 3.75, \, f(0) = 4, \, f(0.5) = 3.75, \, f(1) = 3, \, f(1.5) = 1.75, \, f(2) = 0
\]

Usamos la regla del trapecio:

\[
\text{Área} \approx \frac{0.5}{2} \left[ 3 + 2(3.75 + 4 + 3.75 + 3 + 1.75) + 0 \right]
\]

Calculamos el área total.

---

¿Te gustaría que calculáramos paso a paso las áreas para cada uno de estos problemas con más detalle?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se relaciona la integral definida con el cálculo de áreas bajo una curva?
2. ¿Cuál es la diferencia entre la regla del trapecio y la regla de Simpson?
3. ¿Cómo se pueden reducir los errores en la aproximación de áreas usando particiones más finas?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de una función constante como \( f(x) = 4 \)?
5. ¿Cómo afecta el signo de una función al área bajo la curva?

### Tip:
Recuerda que el número de intervalos influye en la precisión de la aproximación: más intervalos generalmente resultan en una mayor precisión.

calcula el área de los siguientes intervalos 1. f(x)=4 en 0≤x≤4 con 8 intervalos 2. f(x)=x²+3 en el intervalo -2≤x≤2 con 8 intervalos 3. f(x) = (x - 5)² en O≤x≤3 con 6 intervalos 4. f(x) = 4 - x² en el intervalo -1≤x≤2

Learn how to calculate the area under curves using the trapezoidal rule for different functions and intervals. This step-by-step guide covers f(x) = 4, f(x) = x² + 3, f(x) = (x - 5)², and f(x) = 4 - x², with 6 and 8 subintervals. Ideal for students in Grades 10-12.

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