f(x) = −x2 + 13x − 12.
calcule las sumas de Riemman para n = 3, n = 4 y n = 5, en el intervalo [1, 12] por
´ultimo calcule el ´area bajo la curva en el mismo intervalo.

Para calcular las sumas de Riemann y el área bajo la curva de la función \( f(x) = -x^2 + 13x - 12 \) en el intervalo \([1, 12]\), seguimos los pasos a continuación:

### Paso 1: Suma de Riemann para \(n = 3, n = 4\) y \(n = 5\)

#### Partición del intervalo
Para calcular la suma de Riemann, el intervalo \([1, 12]\) se divide en \(n\) subintervalos. Cada subintervalo tiene un ancho de:
\[
\Delta x = \frac{12 - 1}{n} = \frac{11}{n}
\]

Las sumas de Riemann se pueden calcular usando los puntos de evaluación. Aquí emplearemos la suma de Riemann con el punto medio de cada subintervalo, aunque también podríamos usar el extremo izquierdo o derecho.

### Paso 2: Cálculo de la suma de Riemann

Usaremos la fórmula general:
\[
S = \sum_{i=1}^{n} f(\text{punto medio de cada subintervalo}) \cdot \Delta x
\]

Ahora calculo las sumas para cada caso (\(n = 3, n = 4\), y \(n = 5\)). Luego calcularé el área exacta bajo la curva usando la integral definida.

Voy a calcular estas sumas ahora.Las sumas de Riemann para la función \( f(x) = -x^2 + 13x - 12 \) en el intervalo \([1, 12]\) son:

- Para \(n = 3\): \( S_3 \approx 234.16 \)
- Para \(n = 4\): \( S_4 \approx 228.77 \)
- Para \(n = 5\): \( S_5 \approx 226.27 \)

### Área exacta bajo la curva
El área exacta bajo la curva, calculada mediante la integral definida en el intervalo \([1, 12]\), es:
\[
\text{Área exacta} = \frac{1331}{6} \approx 221.83
\]

¿Te gustaría más detalles sobre los cálculos o algún aspecto específico?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el número de particiones \(n\) a la precisión de la suma de Riemann?
2. ¿Cuál es la diferencia entre las sumas de Riemann de extremos izquierdo y derecho?
3. ¿Cómo se calcula una suma de Riemann para una función diferente?
4. ¿Qué interpretación física tiene el área bajo la curva en este contexto?
5. ¿Cómo se puede usar una integral definida para modelar problemas reales?

**Tip**: Para mejorar la precisión en la suma de Riemann, incrementa el número de subintervalos \(n\).

f(x) = −x^2 + 13x − 12. Calcule las sumas de Riemann para n = 3, n = 4 y n = 5, en el intervalo [1, 12] y calcule el área bajo la curva en el mismo intervalo.

This problem involves calculating Riemann sums for n = 3, 4, and 5 and finding the exact area under the curve of f(x) = -x^2 + 13x - 12 in the interval [1, 12]. Learn about Riemann sums, definite integrals, and quadratic functions. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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