La siguiente figura muestra 
\[\triangle ABC\] con longitudes laterales dadas a la décima más cercana.
Triángulo ABC. El lado AC mide 10 unidades. El ángulo A mide 65 grados y el ángulo C mide 81 grados.
\[65\degree\]
\[81\degree\]
\[10\]
\[A\]
\[C\]
\[B\]
Determina 
\[AB\] en 
\[\triangle ABC\].
Redondea a la décima más cercana

Para encontrar la longitud del lado \(AB\) en el triángulo \(\triangle ABC\), podemos utilizar la **ley de los senos**. La ley de los senos nos dice que:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

En este problema, conocemos los siguientes valores:
- \(AC = 10\) unidades (opuesto al ángulo \(B\)),
- \(m\angle A = 65^\circ\),
- \(m\angle C = 81^\circ\).

Primero, podemos encontrar el ángulo \(B\) usando la suma de los ángulos interiores de un triángulo:

\[
m\angle B = 180^\circ - m\angle A - m\angle C = 180^\circ - 65^\circ - 81^\circ = 34^\circ
\]

Ahora que conocemos los tres ángulos, podemos usar la ley de los senos para encontrar la longitud del lado \(AB\), denotado como \(c\):

\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
\frac{c}{\sin 81^\circ} = \frac{10}{\sin 34^\circ}
\]

Calculamos los valores de los senos:

\[
\sin 81^\circ \approx 0.9877
\]
\[
\sin 34^\circ \approx 0.5592
\]

Despejamos \(c\) (longitud del lado \(AB\)):

\[
c = \frac{10 \cdot \sin 81^\circ}{\sin 34^\circ} = \frac{10 \cdot 0.9877}{0.5592} \approx \frac{9.877}{0.5592} \approx 17.7
\]

Por lo tanto, la longitud del lado \(AB\) es aproximadamente \(17.7\) unidades.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para explorar más el tema:
1. ¿Cómo cambiaría la longitud del lado \(AB\) si el ángulo \(A\) fuera más pequeño?
2. ¿Cómo se puede calcular el área del triángulo dado los lados y un ángulo?
3. ¿Qué sucede si los ángulos dados no suman 180 grados?
4. ¿Cómo se aplica la ley de los cosenos en un triángulo?
5. ¿Qué otros métodos pueden usarse para calcular un lado desconocido en un triángulo?

**Tip:** Siempre asegúrate de que los ángulos sumen 180 grados en un triángulo antes de aplicar la ley de los senos o los cosenos.

Encuentra la longitud del lado AB en el triángulo ABC utilizando la ley de los senos. Conoce AC = 10 unidades, ángulo A = 65 grados, ángulo C = 81 grados. Detalles y solución paso a paso.

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