El Problema 6 de la Parte II está relacionado con el mantenimiento de una carretera. Los datos del problema son los siguientes:

- El tramo de carretera \( AC \) está en mantenimiento.
- El desvío pasa por un punto \( B \).
- El tramo de \( A \) a \( B \) tiene una longitud de \( 6 \, \text{km} \).
- El tramo de \( B \) a \( C \) tiene una longitud de \( 4 \, \text{km} \).
- El ángulo \( \angle BAC \) mide \( 30^\circ \).

Se pide calcular cuántos kilómetros de carretera están en mantenimiento.

### Resolución

Este es un problema clásico de triángulos, y se puede resolver utilizando la **Ley de Cosenos**. La Ley de Cosenos establece que para cualquier triángulo con lados \( a \), \( b \), y \( c \), y con ángulo \( \theta \) opuesto al lado \( c \):

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)
\]

Donde:
- \( a = 6 \, \text{km} \)
- \( b = 4 \, \text{km} \)
- \( \theta = 30^\circ \)

Sustituyendo los valores en la fórmula:

\[
c^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4) \cdot \cos(30^\circ)
\]

Calculamos:

1. \( 6^2 = 36 \)
2. \( 4^2 = 16 \)
3. \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)
4. El término \( 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 0.866 \approx 41.57 \)

Por lo tanto,

\[
c^2 = 36 + 16 - 41.57 \approx 10.43
\]

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:

\[
c \approx \sqrt{10.43} \approx 3.23 \, \text{km}
\]

### Resultado:

El tramo de carretera \( AC \), que está en mantenimiento, mide aproximadamente **3,23 km**.

---

¿Te gustaría que amplíe más algún detalle o que haga una visualización del problema?

Algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué diferencias hay entre la Ley de Cosenos y la Ley de Senos?
2. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene la Ley de Cosenos?
3. ¿Cómo cambiaría el resultado si el ángulo fuera mayor o menor?
4. ¿Cómo influye la precisión en el cálculo de ángulos en problemas de mantenimiento de infraestructura?
5. ¿Qué otras fórmulas útiles existen para resolver triángulos?

**Tip:** La Ley de Cosenos es muy poderosa cuando tienes información sobre dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos.

Resuelve el Problema 6 de la Parte 23 utilizando la Ley de Cosenos. Calcula la longitud del tramo de carretera AC que está en mantenimiento con un ángulo dado y longitudes de segmentos conocidos.

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