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Del polígono que se forma al representar las restricciones en el plano cartesiano, ¿cuál es el área del polígono obtenido como conjunto solución?

El problema consiste en determinar el área del polígono que se forma al graficar las restricciones dadas en el plano cartesiano. Las desigualdades son:

1. \( y \leq 4 \)
2. \( x + y \leq 6 \)
3. \( x \geq 0 \)
4. \( y \geq 0 \)

**Paso 1: Graficar las desigualdades.**

Primero, consideremos las ecuaciones de las rectas asociadas:

1. \( y = 4 \) es una línea horizontal.
2. \( x + y = 6 \) se puede escribir como \( y = 6 - x \), que es una línea con pendiente negativa.
3. \( x = 0 \) es el eje \( y \) (el límite izquierdo del gráfico).
4. \( y = 0 \) es el eje \( x \) (el límite inferior del gráfico).

**Paso 2: Determinar los puntos de intersección.**

Ahora, identificamos los puntos donde estas rectas se cruzan:

1. La intersección entre \( y = 4 \) y \( y = 6 - x \) ocurre cuando \( 4 = 6 - x \), por lo tanto, \( x = 2 \). El punto es \( (2, 4) \).
2. La intersección entre \( y = 4 \) y \( x = 0 \) es \( (0, 4) \).
3. La intersección entre \( y = 0 \) y \( y = 6 - x \) es cuando \( 0 = 6 - x \), por lo tanto, \( x = 6 \). El punto es \( (6, 0) \).
4. La intersección entre \( y = 0 \) y \( x = 0 \) es \( (0, 0) \).

**Paso 3: Representar el polígono.**

Los vértices del polígono son:

- \( (0, 0) \)
- \( (0, 4) \)
- \( (2, 4) \)
- \( (6, 0) \)

**Paso 4: Calcular el área del polígono.**

El área de un polígono dado por sus vértices se puede calcular con la fórmula:

\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1) \right|
\]

Sustituyendo los vértices:

\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 6 \cdot 0 - (0 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 6 + 0 \cdot 0) \right|
\]

\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + 0 + 0 - (0 + 8 + 24 + 0) \right|
\]

\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0 - 32 \right| = \frac{1}{2} \times 32 = 16
\]

**El área del polígono es 16 unidades cuadradas.**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se identifican los puntos de intersección entre rectas en un sistema de desigualdades?
2. ¿Qué método se utiliza para calcular el área de un polígono en el plano cartesiano?
3. ¿Cómo se determina la región factible en un sistema de desigualdades?
4. ¿Cómo afecta cada desigualdad a la forma de la región factible?
5. ¿Cuál es el significado geométrico de la intersección de dos rectas?

**Tip:** Para graficar sistemas de desigualdades, primero traza las rectas asociadas y luego sombrea las regiones correspondientes. La región común a todas las desigualdades es la solución.

Descubre cómo determinar el área del polígono formado al graficar las restricciones en el plano cartesiano. Incluye la solución detallada paso a paso y la fórmula del área del polígono por vértices. Adecuado para estudiantes de secundaria superior.

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