ahora resuélvelo pero con  (\sqrt[3]{65})

Para aproximar \(\sqrt[3]{65}\) usando diferenciales, vamos a seguir un procedimiento similar al anterior.

Dado que \(f(x) = \sqrt[3]{x}\), la derivada es:
\[
f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}
\]

Vamos a elegir un valor cercano a 65 que sea fácil de calcular, como \(x = 64\) (ya que \(\sqrt[3]{64} = 4\)).

1. Valor inicial: \(x = 64\)
2. Diferencial: \(dx = 65 - 64 = 1\)

Usamos la aproximación:
\[
\sqrt[3]{65} \approx \sqrt[3]{64} + \frac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} \cdot 1
\]
Calculando paso a paso:
\[
\sqrt[3]{64} = 4
\]
\[
\sqrt[3]{64^2} = \sqrt[3]{4096} \approx 16
\]
\[
\frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48} \approx 0.0208
\]

Entonces:
\[
\sqrt[3]{65} \approx 4 + 0.0208 = 4.0208
\]

El valor aproximado de \(\sqrt[3]{65}\) usando diferenciales es \(4.0208\).

¿Tienes alguna pregunta sobre este cálculo o quieres más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo influye el signo de \(dx\) en el resultado de la aproximación?
2. ¿Por qué se elige \(x = 64\) como punto de referencia?
3. ¿Cómo se compara esta aproximación con el valor real de \(\sqrt[3]{65}\)?
4. ¿Qué ocurre si se elige un valor de \(x\) más lejano de 65, como \(x = 27\)?
5. ¿Cómo afecta la elección de \(x\) a la precisión de la aproximación?

### Tip:
Al elegir un valor cercano para \(x\), asegúrate de que sea un número cuya raíz sea fácil de calcular, para simplificar la derivación y mantener la aproximación precisa.

Learn how to approximate the cube root of 65 using differentials and a step-by-step calculation method. Understand the derivative of the cube root function and its application in mathematical approximation. Suitable for high school students.

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