Para aplicar el concepto de diferencial ( dy = f'(x) dx ) y encontrar una aproximación de 123 123 ​ , podemos hacerlo utilizando una técnica basada en la fórmula de la derivada lineal, que se denomina diferenciales. La función que vamos a aproximar es ( f(x) = \sqrt{x} ). Sabemos que la derivada de ( f(x) ) es: 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 1 2 𝑥 f ′ (x)= 2 x ​ 1 ​ Paso 1: Elegir un valor cercano a 123 Sabemos que 121 = 11 121 ​ =11, y este es un valor cercano a 123 123 ​ . Por lo tanto, elegimos 𝑥 = 121 x=121 como el punto de partida para la aproximación. Paso 2: Diferencial y valor de 𝑑 𝑥 dx El valor que queremos aproximar es 123 123 ​ , por lo tanto, la diferencia entre 123 y 121 es 𝑑 𝑥 = 123 − 121 = 2 dx=123−121=2. Paso 3: Calcular la derivada en 𝑥 = 121 x=121 La derivada de ( f(x) = \sqrt{x} ) en 𝑥 = 121 x=121 es: 𝑓 ′ ( 121 ) = 1 2 121 = 1 2 × 11 = 1 22 f ′ (121)= 2 121 ​ 1 ​ = 2×11 1 ​ = 22 1 ​ Paso 4: Aplicar la fórmula del diferencial Usamos la fórmula del diferencial: 𝑑 𝑦 = 𝑓 ′ ( 𝑥 ) ⋅ 𝑑 𝑥 dy=f ′ (x)⋅dx Reemplazamos los valores que tenemos: 𝑑 𝑦 = 1 22 ⋅ 2 = 2 22 = 1 11 dy= 22 1 ​ ⋅2= 22 2 ​ = 11 1 ​ Paso 5: Aproximar 123 123 ​ Sabemos que ( f(121) = \sqrt{121} = 11 ). Ahora sumamos el valor del diferencial 𝑑 𝑦 dy a ( f(121) ) para obtener una aproximación de 123 123 ​ : 123 ≈ 11 + 1 11 ≈ 11 + 0.0909 ≈ 11.0909 123 ​ ≈11+ 11 1 ​ ≈11+0.0909≈11.0909 Por lo tanto, el valor aproximado de 123 123 ​ es ≈ 11.09 ≈11.09.