necesito que me des la antiderivada de la funcion: dp/dt=1/10.(4.e^(-0.3 )-3.t.e^(-0.3t)

La función que has proporcionado es:

\[
\frac{dp}{dt} = \frac{1}{10} \left( 4e^{-0.3} - 3t e^{-0.3t} \right)
\]

Para encontrar la antiderivada (o primitiva) de esta función, integramos con respecto a \(t\).

### Paso 1: Separar los términos
\[
\frac{dp}{dt} = \frac{1}{10} \left( 4e^{-0.3} - 3t e^{-0.3t} \right)
\]
Esto se puede escribir como:
\[
\frac{dp}{dt} = \frac{1}{10} \cdot 4e^{-0.3} - \frac{1}{10} \cdot 3t e^{-0.3t}
\]

### Paso 2: Integrar cada término por separado

1. **Integrar el primer término:**
\[
\int \frac{4}{10} e^{-0.3} dt = \frac{4}{10} e^{-0.3} t
\]
porque \(e^{-0.3}\) es constante.

2. **Integrar el segundo término:**
\[
\int -\frac{3}{10} t e^{-0.3t} dt
\]
Para esta integral, se utiliza la integración por partes.

Definimos:
- \( u = t \), por lo tanto \( du = dt \)
- \( dv = e^{-0.3t} dt \), por lo tanto \( v = \frac{e^{-0.3t}}{-0.3} \)

Ahora, aplicamos la fórmula de integración por partes:
\[
\int u dv = uv - \int v du
\]
Esto da:
\[
-\frac{3}{10} \left( \frac{t e^{-0.3t}}{-0.3} - \int \frac{e^{-0.3t}}{-0.3} dt \right)
\]
Simplificando:
\[
-\frac{3}{10} \left( \frac{t e^{-0.3t}}{-0.3} + \frac{1}{0.09} e^{-0.3t} \right)
\]
\[
= \frac{3}{3} \left( \frac{t e^{-0.3t}}{0.3} + \frac{1}{0.09} e^{-0.3t} \right)
\]
\[
= e^{-0.3t} \left( t + \frac{10}{3} \right)
\]

### Paso 3: Sumar las integrales

La antiderivada completa es:
\[
p(t) = \frac{4}{10} e^{-0.3} t + e^{-0.3t} \left( t + \frac{10}{3} \right) + C
\]
donde \(C\) es la constante de integración.

### Respuesta final:
\[
p(t) = 0.4 e^{-0.3} t + e^{-0.3t} \left( t + \frac{10}{3} \right) + C
\]

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos o alguna explicación adicional?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Qué es la integración por partes y cómo se aplica en diferentes casos?
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4. ¿Cómo determinar la constante de integración \(C\) en problemas prácticos?
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**Tip:** La integración por partes es una técnica poderosa cuando tienes productos de funciones que no se pueden integrar directamente, como en el caso de \( t e^{at} \).

Find the antiderivative of the function dp/dt = 1/10 (4e^(-0.3) - 3t e^(-0.3t)) using integration by parts. This solution covers exponential functions, integration techniques, and step-by-step explanations for university-level calculus students.

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