cual es la integral de t por e a la t en los limites de integracion 0 y 1

La integral que mencionas es \(\int_0^1 t \cdot e^t \, dt\).

Vamos a resolverla utilizando la técnica de integración por partes. Recordemos la fórmula:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

En este caso, seleccionamos:
- \(u = t\)  →  entonces  \(du = dt\)
- \(dv = e^t \, dt\)  →  entonces  \(v = e^t\)

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:

\[
\int_0^1 t \cdot e^t \, dt = \left[ t \cdot e^t \right]_0^1 - \int_0^1 e^t \, dt
\]

Calculamos ambos términos por separado:

1. Evaluamos el primer término \( \left[ t \cdot e^t \right]_0^1 \):

\[
\left[ t \cdot e^t \right]_0^1 = (1 \cdot e^1) - (0 \cdot e^0) = e - 0 = e
\]

2. Ahora, resolvemos la integral \( \int_0^1 e^t \, dt \):

\[
\int_0^1 e^t \, dt = \left[ e^t \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1
\]

Finalmente, sumamos los términos:

\[
\int_0^1 t \cdot e^t \, dt = e - \left( e - 1 \right) = e - e + 1 = 1
\]

Por lo tanto, el valor de la integral es **1**.

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir el tema:

1. ¿Cómo se utiliza la integración por partes en otros ejemplos?
2. ¿Cómo afecta un cambio en los límites de integración al resultado de la integral?
3. ¿Qué sucede si cambiamos la función \( e^t \) por otra función exponencial?
4. ¿Qué otras técnicas de integración se podrían aplicar a integrales complejas?
5. ¿Cómo se evalúan las integrales definidas con límites infinitos?

**Tip:** En integración por partes, elegir bien las funciones \(u\) y \(dv\) puede simplificar mucho el proceso.

Learn how to calculate the definite integral of t ⋅ e^t from 0 to 1 using the integration by parts technique. This problem covers key calculus concepts and provides a detailed step-by-step solution. Suitable for advanced high school students and college-level learners.

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