Cho tích phân I=∬Sf(x,y,z)dS
 với S
 là mặt trụ z=x2−2x
 phần ứng với z≤0, 0≤y≤2−x
. Một người tính tích phân này bằng cách chuyển về tích phân kép sau đây:I=∫02dx∫x2−2x0f(x,2−x,z)1+(−1)2−−−−−−−−√dz
.

Cách tính này đúng hay sai?

Cách tính này **không chính xác**.

Để giải thích lý do, ta cần hiểu đúng về tích phân mặt và cách tính tích phân này qua việc chuyển đổi sang tích phân kép.

### Phân tích tích phân mặt
Tích phân mặt \(\iint_S f(x,y,z) dS\) được xác định trên một mặt \(S\). Ở đây, mặt \(S\) là mặt trụ \(z = x^2 - 2x\) với phần ứng với \(z \leq 0\) và \(0 \leq y \leq 2 - x\).

Mặt trụ này có phương trình tham số hóa \(S: \mathbf{r}(x,y) = (x, y, x^2 - 2x)\). Để chuyển đổi tích phân mặt sang tích phân kép, cần tính độ dài phần tử diện tích \(dS\) trên mặt \(S\).

### Chuyển đổi sang tích phân kép
Khi chuyển từ tích phân mặt sang tích phân kép, ta cần tính hệ số độ dài phần tử diện tích, cụ thể là:

\[ dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx\,dy \]

Với \(z = x^2 - 2x\), ta có:

- \(\frac{\partial z}{\partial x} = 2x - 2\)
- \(\frac{\partial z}{\partial y} = 0\)

Nên:

\[ dS = \sqrt{1 + (2x - 2)^2} \, dx\,dy \]

Khi đó, tích phân mặt trở thành:

\[ I = \int \int_D f(x, y, x^2 - 2x) \sqrt{1 + (2x - 2)^2} \, dx\,dy \]

### Sai lầm trong tích phân đã cho
Người giải đã chuyển đổi sai công thức. Cụ thể, họ đã thay thế tích phân mặt bằng:

\[ I = \int_0^2 dx \int_{x^2-2x}^0 f(x, 2-x, z) \sqrt{1 + (-1)^2} \, dz \]

Trong tích phân này:

1. Sai sót ở việc chọn giới hạn tích phân: Giới hạn tích phân của \(y\) và \(z\) không tương ứng với phạm vi mặt \(S\) được định nghĩa.
2. Sai sót ở việc không tính đúng thành phần diện tích: Họ sử dụng \(\sqrt{1 + (-1)^2}\) không đúng với độ dài phần tử diện tích thực tế.

### Kết luận
Do đó, cách tính này là **không đúng**.

---

Nếu bạn có thắc mắc hoặc muốn có thêm chi tiết về vấn đề này, mình rất sẵn lòng giải đáp!

1. Làm thế nào để tính toán đúng tích phân mặt cho ví dụ này?
2. Tại sao lại cần chuyển đổi tích phân mặt thành tích phân kép?
3. Có cách nào khác để giải bài toán này không?
4. Thế nào là mặt trụ trong không gian 3D?
5. Làm sao để chọn đúng giới hạn tích phân khi chuyển sang tích phân kép?
6. Công thức tổng quát để tính độ dài phần tử diện tích \(dS\) là gì?
7. Tích phân mặt khác tích phân thể tích như thế nào?
8. Làm sao để kiểm tra kết quả của tích phân mặt?

**Mẹo:** Khi gặp tích phân mặt phức tạp, hãy thử tham số hóa mặt và kiểm tra từng bước chuyển đổi cẩn thận.

Explore the correct and incorrect methods for calculating surface integrals using the example of a given cylindrical surface in 3D space. Understand the principles of parametric surfaces, surface area elements, and the importance of accurate integral transformations. Ideal for advanced undergraduate students and those interested in vector calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation