Seja um cone parametrizado por (x^2/a^2)+(y^2/a^2)-(z^2/b^2)=0, com 0<=z<=b.
Calcule a integral de (x^2+y^2)^1/2 sobre o cone.

O problema pede para calcular a integral da função \(\sqrt{x^2 + y^2}\) sobre a superfície de um cone parametrizado pela equação:

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} = 0, \quad 0 \leq z \leq b.
\]

### 1. **Reescrevendo a equação do cone:**

Podemos manipular a equação do cone para expressar \(z\) em termos de \(x\) e \(y\). A equação original é:

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = \frac{z^2}{b^2}.
\]

Multiplicando ambos os lados por \(b^2\), temos:

\[
\frac{b^2}{a^2}(x^2 + y^2) = z^2.
\]

Ou seja, a equação do cone é:

\[
z = \frac{b}{a}\sqrt{x^2 + y^2}.
\]

### 2. **Escolha de coordenadas cilíndricas:**

É conveniente usar coordenadas cilíndricas \((r, \theta, z)\) para simplificar o cálculo. Nas coordenadas cilíndricas, temos:

\[
x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta), \quad z = z(r) = \frac{b}{a}r.
\]

Aqui, \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) representa a distância radial no plano \(xy\).

### 3. **Área infinitesimal da superfície (elemento de área):**

Para calcular a integral sobre a superfície do cone, precisamos determinar o elemento de área diferencial \(\text{d}S\). Para isso, consideramos o vetor normal à superfície e a sua magnitude.

A parametrização do cone é dada por:

\[
\vec{\sigma}(r, \theta) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta), \frac{b}{a}r).
\]

Os vetores tangentes à superfície são:

\[
\vec{\sigma}_r = \frac{\partial \vec{\sigma}}{\partial r} = \left(\cos(\theta), \sin(\theta), \frac{b}{a}\right),
\]
\[
\vec{\sigma}_\theta = \frac{\partial \vec{\sigma}}{\partial \theta} = \left(-r \sin(\theta), r \cos(\theta), 0\right).
\]

O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial:

\[
\vec{n} = \vec{\sigma}_r \times \vec{\sigma}_\theta = \left( r \frac{b}{a} \cos(\theta), r \frac{b}{a} \sin(\theta), r \right).
\]

A magnitude desse vetor é:

\[
|\vec{n}| = \sqrt{\left(r \frac{b}{a}\right)^2 + r^2} = r \sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1}.
\]

Assim, o elemento de área diferencial é:

\[
\text{d}S = |\vec{n}| \, \text{d}r \, \text{d}\theta = r \sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1} \, \text{d}r \, \text{d}\theta.
\]

### 4. **Montando a integral:**

Agora, a função que queremos integrar é \(\sqrt{x^2 + y^2} = r\). Portanto, a integral a ser calculada é:

\[
\int_{\text{cone}} \sqrt{x^2 + y^2} \, \text{d}S = \int_0^{2\pi} \int_0^a r \cdot r \sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1} \, \text{d}r \, \text{d}\theta.
\]

Isso simplifica para:

\[
\sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1} \int_0^{2\pi} \int_0^a r^2 \, \text{d}r \, \text{d}\theta.
\]

### 5. **Calculando a integral:**

A integral em \(r\) é:

\[
\int_0^a r^2 \, \text{d}r = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^a = \frac{a^3}{3}.
\]

A integral em \(\theta\) é simplesmente:

\[
\int_0^{2\pi} \, \text{d}\theta = 2\pi.
\]

Portanto, a integral total é:

\[
\sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1} \cdot \frac{a^3}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi a^3}{3} \sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1}.
\]

### **Conclusão:**
A integral de \(\sqrt{x^2 + y^2}\) sobre o cone é:

\[
\frac{2\pi a^3}{3} \sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1}.
\]

---

Se precisar de mais explicações sobre algum dos passos, estou à disposição!  
Aqui estão algumas perguntas relacionadas para você explorar mais:

1. Como calcular o volume de um cone usando coordenadas cilíndricas?
2. Qual a interpretação geométrica do vetor normal à superfície?
3. Quais outras superfícies podem ser parametrizadas de forma semelhante?
4. Como calcular integrais de superfície em superfícies mais complexas?
5. Qual o significado físico da função \(\sqrt{x^2 + y^2}\) em diferentes contextos?

**Dica:** Quando fizer integrais sobre superfícies, sempre escolha o sistema de coordenadas mais conveniente para simplificar os cálculos!

Explore how to calculate the integral of sqrt(x^2 + y^2) over a cone parametrized by (x^2/a^2) + (y^2/a^2) - (z^2/b^2) = 0 with 0 <= z <= b. This problem involves surface integrals, cylindrical coordinates, and parametrization techniques. Suitable for advanced undergraduate students and enthusiasts of mathematical analysis.

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