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1. Calcular área bajo la curva en los intervalos entre [0 y 3] utilizando la aproximación de 
Riemann que más le acomode. 
2. Calcule el área bajo la curva utilizando integrales definidas en el mismo intervalo de [0,3] 
3. Determine el volumen de la sólido revolución generada al hacer girar la curva entre [0,3] 
entorno a: 
a) Eje x 
b) Eje y 

Para resolver las preguntas planteadas utilizando la gráfica dada, sigamos estos pasos:

### 1. **Calcular el área bajo la curva en los intervalos entre [0 y 3] utilizando la aproximación de Riemann**

La función dada es \( y = 3 + 2x - x^2 \). Usaremos la aproximación de Riemann utilizando la suma de rectángulos. Para simplificar, podemos usar la suma de Riemann con rectángulos en los extremos derecho, izquierdo o con los puntos medios. Optaremos por la aproximación con los puntos medios para mayor precisión.

La suma de Riemann se define como:

\[
\text{Área} \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x
\]

donde \( f(x_i^*) \) es la altura de la función en el punto medio del i-ésimo subintervalo y \( \Delta x \) es el ancho del subintervalo.

Para simplificar, dividimos el intervalo \([0,3]\) en \( n \) subintervalos iguales. Vamos a dividir el intervalo en 3 subintervalos (por simplicidad):

- \( \Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 \)
- Los puntos medios \( x_i^* \) serán \( 0.5, 1.5, 2.5 \).

Entonces:

\[
\text{Área} \approx \sum_{i=1}^{3} f(x_i^*) \Delta x = \left[ f(0.5) + f(1.5) + f(2.5) \right] \times 1
\]

Calculando \( f(x) \) en esos puntos:

\[
f(0.5) = 3 + 2(0.5) - (0.5)^2 = 4.75
\]
\[
f(1.5) = 3 + 2(1.5) - (1.5)^2 = 4.75
\]
\[
f(2.5) = 3 + 2(2.5) - (2.5)^2 = 3.75
\]

Por lo tanto:

\[
\text{Área} \approx (4.75 + 4.75 + 3.75) \times 1 = 13.25 \text{ unidades cuadradas}
\]

### 2. **Calcular el área bajo la curva utilizando integrales definidas en el mismo intervalo de [0,3]**

La fórmula para el área bajo la curva usando una integral definida es:

\[
\text{Área} = \int_{0}^{3} \left(3 + 2x - x^2 \right) \, dx
\]

Calculemos la integral:

\[
\int (3 + 2x - x^2) \, dx = 3x + x^2 - \frac{x^3}{3} + C
\]

Evaluando en los límites de 0 a 3:

\[
\text{Área} = \left[ 3(3) + (3)^2 - \frac{(3)^3}{3} \right] - \left[ 3(0) + (0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right]
\]

\[
\text{Área} = \left[ 9 + 9 - 9 \right] - [0] = 9 \text{ unidades cuadradas}
\]

### 3. **Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la curva entre [0,3] entorno a:**

#### a) **Eje x**

El volumen de un sólido de revolución alrededor del eje \(x\) se calcula usando:

\[
V = \pi \int_{0}^{3} \left( y(x) \right)^2 \, dx
\]

Entonces:

\[
V = \pi \int_{0}^{3} \left(3 + 2x - x^2 \right)^2 \, dx
\]

Este cálculo requiere desarrollar el integrando y luego integrar, lo cual es más complejo y generalmente se realiza mediante métodos de integración avanzada.

#### b) **Eje y**

Para rotación alrededor del eje \(y\), se usa:

\[
V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot y(x) \, dx
\]

Por lo tanto:

\[
V = 2\pi \int_{0}^{3} x \cdot \left(3 + 2x - x^2 \right) \, dx
\]

De nuevo, este cálculo implica expandir la función y luego integrar, lo que se hace típicamente con herramientas de cálculo simbólico.

### Conclusiones:
- La aproximación de Riemann da un área de aproximadamente \(13.25\) unidades cuadradas.
- La integración exacta da un área de \(9\) unidades cuadradas.
- Los volúmenes de revolución requieren un cálculo más avanzado que puede ser computado numéricamente.

¿Te gustaría algún detalle adicional o que abordemos algún cálculo más específico?

**Preguntas Relativas:**
1. ¿Qué diferencias surgen al cambiar el número de subintervalos en la aproximación de Riemann?
2. ¿Cómo se comporta la función \(y = 3 + 2x - x^2\) en otros intervalos?
3. ¿Qué métodos numéricos existen para calcular el volumen de un sólido de revolución?
4. ¿Cómo afecta el signo de los coeficientes a la forma de la parábola y, por tanto, al área bajo la curva?
5. ¿Cuáles son las implicaciones geométricas de girar una curva alrededor de un eje distinto?

**Tip:** En muchos casos, la integral definida da una respuesta exacta, mientras que la suma de Riemann es una aproximación que se mejora al incrementar el número de subintervalos.

Learn how to calculate the area under a curve using Riemann sums and definite integrals for the interval [0, 3]. Also, explore methods for determining the volume of solids of revolution around both the x-axis and y-axis. Suitable for university-level mathematics.

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