Sobre a sequência  a subscript n space equals open parentheses 1 plus 1 over n close parentheses to the power of n  é correto afirmar que: 

	a.	
a sequência é composta de números racionais e é divergente. 

	b.	
a sequência é composta de números irracionais e é divergente. 

	c.	
a sequência tende ao infinito. 

	d.	
a sequência é composta de números racionais, é convergente e seu limite é um número irracional.

	e.	
a sequência é composta de números racionais, é convergente e seu limite é um número racional. 



Vamos analisar a sequência dada:

\[ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]

Essa sequência é bem conhecida na matemática, e é usada para definir o número **e** (a base do logaritmo natural).

**1. Comportamento da sequência:** Conforme $ n $ aumenta, a expressão $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ se aproxima do número **e**, que é aproximadamente 2,71828. Portanto, a sequência é **convergente** e seu limite é o número **e**.

**2. Natureza dos números:** O número **e** é um número **irracional**, ou seja, não pode ser expresso como uma fração exata entre dois números inteiros.

**3. Sobre os termos da sequência:** Para cada valor finito de $ n $, $ a_n $ é um número racional, porque é a potência de um número racional. Contudo, o limite da sequência, que é **e**, é irracional.

Com base nesses pontos, a resposta correta é:

**d. a sequência é composta de números racionais, é convergente e seu limite é um número irracional.**

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta? Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como provar que o limite da sequência $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ é o número **e**?
2. Qual é a definição formal de um número irracional e como ele difere de um número racional?
3. Em que contextos o número **e** aparece na matemática e nas ciências?
4. Como podemos utilizar essa sequência para calcular aproximações do número **e**?
5. O que significa uma sequência ser convergente e como podemos determinar o limite de outras sequências?

**Dica:** O número **e** é fundamental em muitas áreas da matemática, especialmente no cálculo e nas equações diferenciais.

Understand the sequence $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ in mathematics. Learn why it converges and its limit, the number e. Discover the nature of rational and irrational numbers in sequences. Ideal for advanced high school students and beyond.

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