定义了数列$$\{a_n\}$$，其中$$a_n$$是嵌套了$$n$$层根号的表达式。我们可以写出递归关系：
$$a_1 = \sqrt{1}$$
$$a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}$$
求极限

我们需要计算数列 $ \{a_n\} $ 的极限，其中数列的递归关系定义为：

\[
a_1 = \sqrt{1}
\]
\[
a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}
\]

### 1. 猜想极限
首先，假设数列 $ \{a_n\} $ 收敛于某个极限 $ L $。根据递归关系，当 $ n \to \infty $ 时， $ a_n \to L $，因此我们可以将递归关系中的 $ a_n $ 用 $ L $ 替换：

\[
L = \sqrt{1 + L}
\]

### 2. 求解极限
对上式两边平方，得到：

\[
L^2 = 1 + L
\]

整理为一个二次方程：

\[
L^2 - L - 1 = 0
\]

解这个二次方程，使用求根公式：

\[
L = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

因此，两个解为：

\[
L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{或} \quad L = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
\]

因为数列 $ \{a_n\} $ 是由正数递推得到的，因此 $ L $ 只能是正数解：

\[
L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\]

这个解是著名的 **黄金比例** $ \phi $。

### 3. 验证
数列的初值为 $ a_1 = \sqrt{1} = 1 $，可以验证该数列是单调递增的，即 $ a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n} > a_n $，且数列有上界 $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $，因此数列收敛于黄金比例 $ \phi $。

### 结论
数列 $ \{a_n\} $ 的极限是：

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\]

即黄金比例。

---

有疑问或想了解更多细节吗？

### 相关问题：
1. 为什么这个递推关系是单调递增的？
2. 如何证明数列有上界？
3. 黄金比例在其他数学或自然现象中的应用是什么？
4. 如果递推关系改为 $ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} $，极限会是什么？
5. 如何推导其他类似形式数列的极限？

### 小贴士：
解递归关系时，假设数列有极限，然后代入递归公式是一个常用的方法。

定义了数列$$\{a_n\}$$，其中$$a_n$$是嵌套了$$n$$层根号的表达式。我们可以写出递归关系：$$a_1 = \sqrt{1}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}$$ 求极限

Explore how to solve a sequence defined by nested square roots, starting from $$a_1 = \sqrt{1}$$ and $$a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}$$. The solution involves limits, the quadratic formula, and results in the famous golden ratio. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

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