• Dominio
• Rango
• Cortes con eje y
• Cortes eje x
• Asíntotas horizontales y/o verticales

𝑓(𝑥) =𝑥/3𝑥−1

Dado que la función es \( f(x) = \frac{x}{3x - 1} \), vamos a analizar cada uno de los elementos que solicitaste:

### 1. **Dominio**
El dominio de la función se refiere a todos los valores de \( x \) para los cuales la función está definida. Para esta función, el único valor de \( x \) que podría hacer que la función no esté definida es aquel que hace que el denominador sea cero.

\[
3x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}
\]

Entonces, el dominio de la función es:

\[
\text{Dominio: } \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{3}\right\} 
\]

### 2. **Rango**
Para determinar el rango de la función, analizamos los valores que puede tomar \( f(x) \). Debido a la estructura de la función (una fracción), el rango será todos los números reales excepto aquellos valores que la función nunca alcanza.

\[
\lim_{x \to \frac{1}{3}^-} f(x) = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to \frac{1}{3}^+} f(x) = +\infty
\]

Dado que la función puede aproximarse arbitrariamente a cualquier número real (excepto cuando el denominador es cero), el rango es:

\[
\text{Rango: } \mathbb{R}
\]

### 3. **Corte con el eje \( y \)**
El corte con el eje \( y \) ocurre cuando \( x = 0 \).

\[
f(0) = \frac{0}{3(0) - 1} = 0
\]

Por lo tanto, el corte con el eje \( y \) es en el punto:

\[
\text{Corte con el eje } y: (0, 0)
\]

### 4. **Corte con el eje \( x \)**
El corte con el eje \( x \) ocurre cuando \( f(x) = 0 \). Esto ocurre cuando el numerador es cero.

\[
x = 0
\]

Por lo tanto, el corte con el eje \( x \) es en el punto:

\[
\text{Corte con el eje } x: (0, 0)
\]

### 5. **Asíntotas horizontales y/o verticales**
- **Asíntota vertical**: Las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador se aproxima a cero, pero el numerador no. Como vimos en el análisis del dominio:

\[
x = \frac{1}{3}
\]

Hay una asíntota vertical en \( x = \frac{1}{3} \).

- **Asíntota horizontal**: Para encontrar la asíntota horizontal, examinamos el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a infinito:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{3x - 1} = \frac{1}{3} \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{3x - 1} = \frac{1}{3}
\]

Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en:

\[
y = \frac{1}{3}
\]

---

¿Te gustaría que profundice en algún aspecto específico o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se representan gráficamente las asíntotas en esta función?
2. ¿Cómo afecta la pendiente de la asíntota horizontal al comportamiento de la función?
3. ¿Qué sucede con el dominio y el rango si se modifica la función a \( f(x) = \frac{x^2}{3x - 1} \)?
4. ¿Qué métodos se utilizan para determinar el rango de funciones más complejas?
5. ¿Cómo afecta el cambio de signo en la función \( f(x) = -\frac{x}{3x - 1} \) a sus propiedades?

### Tip:
Recuerda que las asíntotas verticales y horizontales indican comportamientos límite de la función, útiles para entender su gráfico.

Explore the function f(x) = x / (3x - 1) in detail with explanations on its domain, range, vertical and horizontal asymptotes. Understand how to find intercepts with the y-axis and x-axis. Suitable for high school students studying functions and asymptotic behavior.

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