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dime si la funcion es lineal, cuadratica o racional y dime cual es el dominio y rango de cada una

La función que aparece en la imagen es \( f(x) = \frac{1}{x} \).

1. **Tipo de función**: Esta es una **función racional** porque está definida como una fracción cuyo numerador es una constante (\( 1 \)) y el denominador es una variable (\( x \)). Las funciones racionales suelen tener asíntotas verticales y horizontales debido a los valores que hacen que el denominador sea igual a cero.

2. **Dominio**: El dominio de la función \( f(x) = \frac{1}{x} \) incluye todos los valores reales de \( x \), excepto \( x = 0 \), ya que dividir por cero no está definido. Es decir:
   \[
   \text{Dominio} = \{x \in \mathbb{R} \, | \, x \neq 0 \}
   \]
   Esto se puede expresar como \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \).

3. **Rango**: El rango de esta función son todos los valores reales, excepto \( y = 0 \), porque la función nunca toma el valor de cero. A medida que \( x \) se acerca a cero por ambos lados, \( f(x) \) tiende a infinito positivo o negativo. Sin embargo, nunca llega a ser cero. Por lo tanto:
   \[
   \text{Rango} = \{ y \in \mathbb{R} \, | \, y \neq 0 \}
   \]
   Esto se puede expresar como \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \).

### ¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir:
1. ¿Qué son las asíntotas en una función racional?
2. ¿Cómo influye el signo del numerador en el comportamiento de la función \( f(x) = \frac{1}{x} \)?
3. ¿Qué sucede con la función \( f(x) = \frac{1}{x} \) si se traslada horizontal o verticalmente?
4. ¿Cómo se comporta gráficamente una función racional con un denominador cuadrático, por ejemplo, \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)?
5. ¿Cuál es la diferencia principal entre una función racional y una función polinómica?

**Tip**: Al trabajar con funciones racionales, siempre presta atención a los puntos donde el denominador se hace cero, ya que allí suelen aparecer las asíntotas verticales.

Learn how to identify the function f(x) = 1/x as a rational function, and explore its domain and range. This problem helps students understand key concepts in algebra, including rational functions, vertical and horizontal asymptotes. Suitable for students in Grades 10-12.

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