例2、某机械企业在下料时需要把长度为L的钢材截成长度为L1和L2的两段，已知L服从均值为10cm，标准差为0.4cm的正态分布，L1服从均值为5cm，标准差为0.3cm的正态分布，则关于L2的分布，下列说法正确的是（  C  ）
A. 一定不是正态分布
B. 服从均值为5cm，标准差为0.1cm的正态分布
C. 服从均值为5cm，标准差为0.5cm的正态分布
D. 服从均值为5cm，标准差为0.7cm的正态分布


我们可以通过以下步骤来分析该问题：

1. **已知信息**:
   - 总长度 \( L \) 服从均值为10cm，标准差为0.4cm的正态分布，即 \( L \sim N(10, 0.4^2) \)。
   - 第一段长度 \( L_1 \) 服从均值为5cm，标准差为0.3cm的正态分布，即 \( L_1 \sim N(5, 0.3^2) \)。
   - 第二段长度 \( L_2 \) 为 \( L - L_1 \) 的差。

2. **求解 \( L_2 \) 的分布**:
   - 由于 \( L_2 = L - L_1 \)，我们可以使用正态分布的性质来分析。
   - 对于两个独立的正态分布变量 \( X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2) \) 和 \( Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2) \)，它们的差 \( Z = X - Y \) 也是正态分布，且 \( Z \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2) \)。

3. **应用到本题中**:
   - \( L_2 = L - L_1 \)，因此 \( L_2 \) 的均值为 \( \mu_{L_2} = \mu_L - \mu_{L_1} = 10 - 5 = 5 \)cm。
   - \( L_2 \) 的标准差为 \( \sigma_{L_2} = \sqrt{\sigma_L^2 + \sigma_{L_1}^2} = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = \sqrt{0.16 + 0.09} = \sqrt{0.25} = 0.5 \)cm。

因此，\( L_2 \) 服从均值为5cm，标准差为0.5cm的正态分布。

**正确答案**: C. 服从均值为5cm，标准差为0.5cm的正态分布。

要详细解释或者有任何问题吗？  
以下是5个相关问题，可以帮助进一步理解:

1. 如果 \( L_1 \) 的标准差增加到0.5cm，\( L_2 \) 的标准差会如何变化？
2. 如果 \( L_1 \) 和 \( L \) 并不是独立的，那么如何分析 \( L_2 \) 的分布？
3. 正态分布的独立随机变量之和或之差的分布有何性质？
4. 如何通过实际数据验证 \( L_2 \) 的分布情况？
5. 在其他分布情况下（如均匀分布），如何求解类似问题中的差的分布？

**提示**: 当两个独立正态分布变量相加或相减时，结果仍然是正态分布，并且其均值和方差可以直接通过已知变量的均值和方差计算。

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