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Résoudre la partie A du sujet math en détail avec des explications pour un élève moyen

Commençons par résoudre la **partie A** de l'exercice 1 du sujet que vous avez partagé. Voici un récapitulatif de ce que nous allons traiter :

**Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points)**

L'usine fabrique des tubes, et l'exercice se concentre sur deux types de tubes : les tubes de **type 1** et de **type 2**. Nous allons détailler les questions pour le **type 1** ici.

### Partie A - Question 1

#### 1. **Tubes de type 1 - Loi normale :**

On considère un tube de type 1 accepté si son épaisseur est comprise entre **1,35 mm** et **1,65 mm**. On suppose que l'épaisseur \( X \) des tubes suit une loi normale de paramètres :
- **Espérance** \( \mu = 1,5 \) mm
- **Écart-type** \( \sigma = 0,07 \) mm

La question demande de calculer la probabilité qu’un tube de type 1 soit accepté, c’est-à-dire que \( P(1,35 \leq X \leq 1,65) \).

##### a) **Calcul de la probabilité d'acceptation** :

La probabilité que l’épaisseur \( X \) soit dans l’intervalle \( [1,35 ; 1,65] \) correspond à la zone sous la courbe de densité de la loi normale standard entre ces bornes.

Pour cela, on utilise la **loi normale réduite** \( Z \), définie par :
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
Ainsi :
- \( Z_1 = \frac{1,35 - 1,5}{0,07} = \frac{-0,15}{0,07} \approx -2,143 \)
- \( Z_2 = \frac{1,65 - 1,5}{0,07} = \frac{0,15}{0,07} \approx 2,143 \)

La probabilité recherchée est donc :
\[
P(1,35 \leq X \leq 1,65) = P(-2,143 \leq Z \leq 2,143)
\]

En utilisant les tables de la loi normale centrée réduite, on obtient :

\[
P(Z \leq 2,143) \approx 0,9833 \quad \text{et} \quad P(Z \leq -2,143) \approx 0,0167
\]

Donc la probabilité que le tube soit accepté est :
\[
P(1,35 \leq X \leq 1,65) = 0,9833 - 0,0167 = 0,9666
\]

Cette probabilité est d’environ **0,967**, ou **96,7 %**.

##### b) **Amélioration de la qualité de la production :**

L'entreprise cherche à améliorer la qualité en ajustant l'écart-type \( \sigma_1 \) des tubes. On veut trouver la valeur de \( \sigma_1 \) telle que la probabilité d'acceptation soit de **0,98**.

On sait que \( X_1 \sim \mathcal{N}(1,5, \sigma_1) \), et que la probabilité que \( X_1 \) soit dans \( [1,35; 1,65] \) doit être égale à **0,98**.

En utilisant la loi normale centrée réduite, on a :
\[
P(-a \leq Z \leq a) = 0,98
\]
D’après les tables de la loi normale, la valeur de \( a \) qui satisfait cette équation est environ **2,326**. Ainsi, on veut que :
\[
P\left( \frac{1,35 - 1,5}{\sigma_1} \leq Z \leq \frac{1,65 - 1,5}{\sigma_1} \right) = 0,98
\]
Cela donne :
\[
\frac{1,65 - 1,5}{\sigma_1} = 2,326
\]

En résolvant cette équation, on obtient \( \sigma_1 \) :
\[
\sigma_1 = \frac{0,15}{2,326} \approx 0,0645
\]

La valeur de \( \sigma_1 \) doit être **0,065** (arrondi à \( 10^{-3} \)) pour que la probabilité d'acceptation soit de **0,98**.

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### Partie A - Question 2

#### 2. **Tubes de type 2 - Fréquence des non-conformes :**

On prélève un échantillon de **250 tubes** de type 2, parmi lesquels **10 tubes** ne sont pas conformes pour la longueur. On veut vérifier si la machine doit être révisée.

##### a) **Intervalle de fluctuation à 95 % :**

Pour calculer l’intervalle de fluctuation asymptotique à **95 %** de la fréquence des tubes non conformes, on utilise la formule pour l'intervalle de confiance d’une proportion \( p \) :
\[
IC = p \pm 1,96 \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
\]
Où :
- \( p = 0,02 \) (proportion de tubes non conformes dans la population)
- \( n = 250 \) (taille de l'échantillon)

En calculant :
\[
\sqrt{\frac{0,02 \times 0,98}{250}} \approx 0,0088
\]

L’intervalle est donc :
\[
0,02 \pm 1,96 \times 0,0088 \approx [0,002, 0,038]
\]

L'intervalle de fluctuation est donc approximativement **[0,2 % ; 3,8 %]**.

##### b) **Décision de réviser la machine :**

La fréquence observée dans l’échantillon est de \( \frac{10}{250} = 0,04 \) (ou 4 %), ce qui est **en dehors** de l'intervalle de fluctuation **[0,2 % ; 3,8 %]**.

Comme la fréquence observée est plus élevée que la proportion attendue, cela signifie que la machine produit plus de tubes non conformes que prévu. **Il est donc nécessaire de réviser la machine**.

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### Questions relatives :
1. Comment trouve-t-on la probabilité d'acceptation pour une loi normale non centrée ?
2. Quelles sont les étapes pour calculer un intervalle de fluctuation asymptotique ?
3. Quelles autres méthodes peuvent être utilisées pour améliorer la production dans une usine ?
4. Comment utiliser une loi normale pour optimiser un processus industriel ?
5. Quelle est l'importance de réviser une machine lorsqu’on observe des écarts significatifs ?

**Astuce** : Lorsque vous utilisez les tables de la loi normale, veillez à bien identifier les bornes pour éviter les erreurs de calcul de probabilités.

Detailed solution for part A of the Bac S Math 2019 exam, covering normal distribution, control limits, and calculation of acceptance probability for tubes. This step-by-step solution is suitable for advanced high school students.

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