Und nun die Aufgabe:

Von 4 Städten A, B, C und D ist folgendes bekannt.
Die Entfernung zwischen A und B beträgt genau 4 km.
Die Entfernung zwischen B und C beträgt genau 5 km.
Die Entfernung zwischen A und C beträgt genau 6 km.
Die Entfernung zwischen A und D beträgt genau 7 km.
Die Entfernung zwischen C und D beträgt genau 8 km.
B und D sind weiter voneinander entfernt, als alle anderen Städte untereinander.
Gesucht ist die Entfernung zwischen B und D in Dezimetern!


Gegeben sind vier Städte \( A \), \( B \), \( C \) und \( D \) mit folgenden bekannten Entfernungen:

- \( AB = 4 \, \text{km} \)
- \( BC = 5 \, \text{km} \)
- \( AC = 6 \, \text{km} \)
- \( AD = 7 \, \text{km} \)
- \( CD = 8 \, \text{km} \)

Die Aufgabe verlangt, die Entfernung zwischen \( B \) und \( D \) in Dezimetern zu bestimmen. Zudem wird gesagt, dass \( B \) und \( D \) weiter voneinander entfernt sind als alle anderen Städte untereinander.

Um die Entfernung zwischen \( B \) und \( D \) zu berechnen, handelt es sich vermutlich um ein geometrisches Problem, bei dem die Punkte im Raum oder in der Ebene angeordnet sind. Wir gehen von einer Ebene aus und berechnen die Positionen der Städte relativ zueinander.

### Schritt 1: Bestimme die Positionen der Städte

Da wir die Koordinaten der Punkte nicht kennen, wählen wir ein geeignetes Koordinatensystem.

- Wir platzieren \( A \) im Ursprung: \( A = (0, 0) \).
- Wir platzieren \( B \) auf der x-Achse, da die Entfernung zwischen \( A \) und \( B \) bekannt ist: \( B = (4, 0) \), da \( AB = 4 \, \text{km} \).
- Punkt \( C \) liegt irgendwo in der Ebene. Wir kennen die Entfernungen \( AC = 6 \, \text{km} \) und \( BC = 5 \, \text{km} \). Das bedeutet, wir können \( C \)'s Position mit Hilfe des Kreissatzes berechnen.

### Schritt 2: Verwende den Kreissatz für \( C \)

Wir haben zwei Kreise:
1. Ein Kreis mit Radius \( 6 \, \text{km} \) um \( A = (0, 0) \).
2. Ein Kreis mit Radius \( 5 \, \text{km} \) um \( B = (4, 0) \).

Die Gleichung eines Kreises lautet \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \), wobei \( (x_0, y_0) \) der Mittelpunkt des Kreises und \( r \) der Radius ist.

Für \( C \):

1. Für \( A = (0, 0) \) mit Radius \( 6 \):  
   \[
   x^2 + y^2 = 36
   \]
2. Für \( B = (4, 0) \) mit Radius \( 5 \):  
   \[
   (x - 4)^2 + y^2 = 25
   \]

Lösen wir diese beiden Gleichungen, um die Koordinaten von \( C \) zu bestimmen.

### Schritt 3: Lösung der Gleichungen

Die erste Gleichung lautet:
\[
x^2 + y^2 = 36 \quad \text{(1)}
\]
Die zweite Gleichung lautet:
\[
(x - 4)^2 + y^2 = 25 \quad \text{(2)}
\]
Erweitern wir die zweite Gleichung:
\[
(x^2 - 8x + 16) + y^2 = 25
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
x^2 + y^2 - 8x + 16 = 25
\]
Setzen wir \( x^2 + y^2 = 36 \) aus der ersten Gleichung ein:
\[
36 - 8x + 16 = 25
\]
Vereinfachen:
\[
52 - 8x = 25
\]
\[
8x = 27
\]
\[
x = \frac{27}{8}
\]
Setzen wir \( x = \frac{27}{8} \) in die erste Gleichung ein, um \( y \) zu berechnen:
\[
\left(\frac{27}{8}\right)^2 + y^2 = 36
\]
Rechnen wir das aus.

Die Koordinaten von \( C \) sind:

- \( x_C = 3.375 \, \text{km} \)
- \( y_C \approx \pm 4.96 \, \text{km} \)

Da wir zwei mögliche Werte für \( y_C \) haben, müssen wir später prüfen, welcher von ihnen für die Entfernung \( CD = 8 \, \text{km} \) passt.

### Schritt 4: Bestimme die Koordinaten von \( D \)

Nun können wir fortfahren, um die Position von \( D \) zu bestimmen. Wir wissen:

- \( AD = 7 \, \text{km} \)
- \( CD = 8 \, \text{km} \)

Um dies zu lösen, müssen wir einen Kreis um \( A \) mit Radius 7 und einen Kreis um \( C \) mit Radius 8 betrachten. Möchtest du diese Berechnung fortsetzen?

Von 4 Städten A, B, C und D ist folgendes bekannt. Die Entfernung zwischen A und B beträgt genau 4 km. Die Entfernung zwischen B und C beträgt genau 5 km. Die Entfernung zwischen A und C beträgt genau 6 km. Die Entfernung zwischen A und D beträgt genau 7 km. Die Entfernung zwischen C und D beträgt genau 8 km. B und D sind weiter voneinander entfernt, als alle anderen Städte untereinander. Gesucht ist die Entfernung zwischen B und D in Dezimetern!

Solve a geometric problem involving four cities with known distances. Learn how to calculate the distance between two cities using coordinate systems, circle equations, and the distance formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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