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Para cierta empresa, la gráfica adjunta representa al costo total, “C” y a la utilidad total, “U”; ambos dados en soles. Si “x” representa la cantidad de artículos, se pide justificar si las afirmaciones siguientes son verdaderos o falsos
a)	C = 0.5x + 20, es la expresión matemática del costo total.
b)	U = (4/3)x - 20, es la expresión matemática de la utilidad total.
c)	600 soles, es el ingreso total por 300 unidades vendidas.

Requerimiento: tendrá que presentar procesos matemáticos, según el tema al que corresponda el problema planteado.


Vamos a analizar las afirmaciones una por una utilizando los datos de la gráfica.

### Afirmación a: \( C = 0.5x + 20 \)

Primero, identificaremos dos puntos en la línea del costo \( C \) para verificar si esta ecuación es correcta.

Observando la gráfica, la línea de \( C \) pasa por los puntos:
- \( (0, 20) \), que es el intercepto en el eje \( y \) (cuando \( x = 0 \), \( C = 20 \)).
- \( (20, 30) \), otro punto que podemos observar.

Ahora, calculamos la pendiente (\( m \)) de la línea \( C \) usando la fórmula de la pendiente:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{30 - 20}{20 - 0} = \frac{10}{20} = 0.5
\]
Entonces, la ecuación de la recta es de la forma \( C = 0.5x + 20 \), lo que coincide con la afirmación.

**Conclusión: La afirmación es verdadera.**

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### Afirmación b: \( U = \frac{4}{3}x - 20 \)

Ahora, analizaremos la ecuación de la utilidad \( U \).

Observamos dos puntos sobre la línea \( U \):
- \( (0, -20) \), que es el intercepto en el eje \( y \) (cuando \( x = 0 \), \( U = -20 \)).
- \( (15, 0) \), otro punto que podemos identificar en la gráfica.

Calculamos la pendiente (\( m \)) de la línea \( U \):
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-20)}{15 - 0} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}
\]
Entonces, la ecuación de la recta es de la forma \( U = \frac{4}{3}x - 20 \), lo que coincide con la afirmación.

**Conclusión: La afirmación es verdadera.**

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### Afirmación c: 600 soles es el ingreso total por 300 unidades vendidas

El ingreso total \( I \) está dado por la relación:
\[
I = C + U
\]
Queremos calcular el ingreso total para 300 unidades vendidas. Sabemos que el costo total \( C \) y la utilidad total \( U \) están definidos por las ecuaciones que obtuvimos previamente.

Para \( x = 300 \):
- \( C(300) = 0.5(300) + 20 = 150 + 20 = 170 \)
- \( U(300) = \frac{4}{3}(300) - 20 = 400 - 20 = 380 \)

El ingreso total es:
\[
I = C(300) + U(300) = 170 + 380 = 550
\]

La afirmación dice que el ingreso es de 600 soles, pero hemos calculado que es de 550 soles.

**Conclusión: La afirmación es falsa.**

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### Resumen:
- a) Verdadera
- b) Verdadera
- c) Falsa (el ingreso es 550 soles, no 600 soles)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo podemos calcular la cantidad de artículos para que el ingreso total sea 600 soles?
2. ¿Qué representa la pendiente en las ecuaciones de costo y utilidad?
3. ¿Qué sucede con la utilidad si se incrementa la producción a más de 300 unidades?
4. ¿Cómo se determina el punto de equilibrio entre costos y utilidades usando la gráfica?
5. ¿Cómo varía la ecuación del costo si se incrementa el costo fijo?

**Tip:** Para calcular la pendiente de una recta a partir de dos puntos, siempre recuerda usar la fórmula \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

Para cierta empresa, la gráfica adjunta representa al costo total, 'C' y a la utilidad total, 'U'; ambos dados en soles. Si 'x' representa la cantidad de artículos, se pide justificar si las afirmaciones siguientes son verdaderos o falsos: a) C = 0.5x + 20, es la expresión matemática del costo total. b) U = (4/3)x - 20, es la expresión matemática de la utilidad total. c) 600 soles, es el ingreso total por 300 unidades vendidas.

This problem involves verifying linear equations for cost and utility using a graph. We calculate the slope and intercept to confirm the cost equation C = 0.5x + 20 and the utility equation U = (4/3)x - 20. Additionally, we determine the total revenue for 300 units sold, concluding that 600 soles is an incorrect figure as the actual revenue is 550 soles.

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