GegebenistdaszweidimensionaleVektorfeld
 f(x,y)= 1+ey
 x·ey .
 a)ÜberprüfenSiedieIntegrabilitätsbedingungenundbegründenSiedaraufhin,warumeine
 Potenzialfunktionexistiert.

Um die Integrabilitätsbedingungen zu überprüfen und zu zeigen, dass eine Potenzialfunktion für das Vektorfeld \( \mathbf{f}(x,y) = \begin{pmatrix} 1 + e^y \\ x \cdot e^y \end{pmatrix} \) existiert, gehen wir wie folgt vor:

### Integrabilitätsbedingungen

Ein Vektorfeld \(\mathbf{f}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))\) hat eine Potenzialfunktion \( \phi(x,y) \), wenn die gemischten partiellen Ableitungen von \( P \) und \( Q \) übereinstimmen, das heißt:

\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \]

Für unser Vektorfeld \( \mathbf{f}(x,y) = \begin{pmatrix} 1 + e^y \\ x \cdot e^y \end{pmatrix} \) sind die Komponenten:

\[ P(x,y) = 1 + e^y \]
\[ Q(x,y) = x \cdot e^y \]

Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen:

1. Die partielle Ableitung von \( P \) nach \( y \):

\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(1 + e^y) = 0 + e^y = e^y \]

2. Die partielle Ableitung von \( Q \) nach \( x \):

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x \cdot e^y) = e^y \]

Da \( \frac{\partial P}{\partial y} = e^y \) und \( \frac{\partial Q}{\partial x} = e^y \), sind die gemischten partiellen Ableitungen gleich:

\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \]

Damit ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt.

### Existenz einer Potenzialfunktion

Da die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, existiert eine Potenzialfunktion \( \phi(x,y) \) für das Vektorfeld \( \mathbf{f}(x,y) \).

Wir können nun die Potenzialfunktion finden, indem wir folgende Gleichungen lösen:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = P(x,y) = 1 + e^y \]
\[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = Q(x,y) = x \cdot e^y \]

Integrieren wir \( P(x,y) \) nach \( x \):

\[ \phi(x,y) = \int (1 + e^y) \, dx = x + x \cdot e^y + h(y) \]

wobei \( h(y) \) eine Funktion ist, die nur von \( y \) abhängt.

Nun bestimmen wir \( h(y) \), indem wir \( \phi(x,y) \) nach \( y \) ableiten und mit \( Q(x,y) \) gleichsetzen:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x + x \cdot e^y + h(y)) = x \cdot e^y + h'(y) \]

Setzen wir dies gleich \( Q(x,y) \):

\[ x \cdot e^y + h'(y) = x \cdot e^y \]

Da beide Seiten gleich sind, folgt:

\[ h'(y) = 0 \]

Das bedeutet, dass \( h(y) \) eine Konstante ist. Wir setzen \( h(y) = C \).

Damit lautet die Potenzialfunktion:

\[ \phi(x,y) = x + x \cdot e^y + C \]

Die Konstante \( C \) kann weggelassen werden, da sie keinen Einfluss auf das Vektorfeld hat.

### Zusammenfassung

Wir haben gezeigt, dass die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind und somit eine Potenzialfunktion existiert. Die Potenzialfunktion für das Vektorfeld \( \mathbf{f}(x,y) = \begin{pmatrix} 1 + e^y \\ x \cdot e^y \end{pmatrix} \) lautet:

\[ \phi(x,y) = x + x \cdot e^y \]

Haben Sie Fragen oder benötigen Sie weitere Details?

Hier sind einige Fragen, die Sie weiter untersuchen können:

1. Wie findet man eine Potenzialfunktion für ein dreidimensionales Vektorfeld?
2. Was sind die Anwendungen von Vektorfeldern und Potenzialfunktionen in der Physik?
3. Wie würde man die Potenzialfunktion graphisch darstellen?
4. Was passiert, wenn die Integrabilitätsbedingungen nicht erfüllt sind?
5. Wie berechnet man die Arbeit entlang eines Pfades in einem Vektorfeld mit einer Potenzialfunktion?

**Tipp:** Die Potenzialfunktion ist nützlich zur Vereinfachung von Berechnungen in konservativen Vektorfeldern, insbesondere bei der Bestimmung der Arbeit entlang eines Pfades.

Learn how to verify the integrability conditions and demonstrate the existence of a potential function for the vector field f(x,y) = (1 + e^y, x * e^y). This problem involves calculating partial derivatives and applying integrability conditions. Suitable for advanced undergraduate or graduate-level mathematics students.

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