resolverver derivada parcial de f(x,y)=√(5&x^(-3)-y^(-1) )-(Ln(〖9x〗^2+〖3y〗^2 )^2)/e-3.3e^((0.005x-2) ) 	Determine la derivada parcial exacta para “x”, simplificar respuesta (8%)

	Determine la derivada parcial f_xy (x,y) , simplificar respuesta

Determine la derivada parcial numérica f_xy (2.8,2.2)


Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.

### 1. Determinar la derivada parcial exacta para \( x \) de la función \( f(x,y) \):

Dada la función:
\[
f(x, y) = \sqrt{5x^{-3} - y^{-1}} - \frac{\ln((9x^2 + 3y^2)^2)}{e} - 3.3e^{(0.005x - 2)}
\]

Primero, derivemos cada término respecto a \( x \).

#### Primer término: \( \sqrt{5x^{-3} - y^{-1}} \)

La derivada parcial de \( \sqrt{u(x, y)} \) con respecto a \( x \), donde \( u(x, y) = 5x^{-3} - y^{-1} \), es:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left(\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left(5x^{-3} - y^{-1}\right)
\]

\[
\frac{\partial}{\partial x} \left(5x^{-3} - y^{-1}\right) = -15x^{-4}
\]
Entonces:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left(\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}\right) = \frac{-15x^{-4}}{2\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}}
\]

#### Segundo término: \( -\frac{\ln((9x^2 + 3y^2)^2)}{e} \)

La derivada parcial de este término respecto a \( x \) es:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{\ln((9x^2 + 3y^2)^2)}{e}\right) = -\frac{1}{e} \cdot \frac{2 \cdot (9x^2 + 3y^2) \cdot 18x}{(9x^2 + 3y^2)^2}
\]
Simplificando:
\[
= -\frac{36x}{e(9x^2 + 3y^2)}
\]

#### Tercer término: \( -3.3e^{(0.005x - 2)} \)

La derivada parcial de este término respecto a \( x \) es:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left(-3.3e^{(0.005x - 2)}\right) = -3.3 \cdot 0.005 \cdot e^{(0.005x - 2)}
\]
Simplificando:
\[
= -0.0165e^{(0.005x - 2)}
\]

### Derivada parcial exacta con respecto a \( x \):

Combinando todos los términos:
\[
\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \frac{-15x^{-4}}{2\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}} - \frac{36x}{e(9x^2 + 3y^2)} - 0.0165e^{(0.005x - 2)}
\]

### 2. Determinar la derivada parcial mixta \( f_{xy}(x, y) \):

Para obtener \( f_{xy}(x, y) \), derivamos \( \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \) respecto a \( y \).

Derivemos cada término respecto a \( y \):

- **Primer término**: La derivada parcial con respecto a \( y \) del primer término:
\[
\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{-15x^{-4}}{2\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}}\right)
\]
Esto implica derivar \( \sqrt{5x^{-3} - y^{-1}} \) con respecto a \( y \), que nos da:
\[
\frac{\partial}{\partial y} \left(\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}\right) = \frac{y^{-2}}{2\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}}
\]
Entonces:
\[
\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{-15x^{-4}}{2\sqrt{5x^{-3} - y^{-1}}}\right) = \frac{15x^{-4}y^{-2}}{4(5x^{-3} - y^{-1})^{3/2}}
\]

- **Segundo término**: Derivada parcial respecto a \( y \):
\[
\frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{36x}{e(9x^2 + 3y^2)}\right) = \frac{-36x \cdot 6y}{e(9x^2 + 3y^2)^2}
\]

- **Tercer término**: No depende de \( y \), por lo que su derivada es cero.

### Derivada parcial mixta exacta:

Combinando los términos obtenidos:
\[
f_{xy}(x, y) = \frac{15x^{-4}y^{-2}}{4(5x^{-3} - y^{-1})^{3/2}} - \frac{216xy}{e(9x^2 + 3y^2)^2}
\]

### 3. Determinar la derivada parcial numérica \( f_{xy}(2.8, 2.2) \):

Sustituyendo \( x = 2.8 \) y \( y = 2.2 \) en la expresión obtenida:
\[
f_{xy}(2.8, 2.2) = \frac{15(2.8)^{-4}(2.2)^{-2}}{4(5(2.8)^{-3} - (2.2)^{-1})^{3/2}} - \frac{216(2.8)(2.2)}{e(9(2.8)^2 + 3(2.2)^2)^2}
\]

Voy a calcular esta derivada numérica para ti.La derivada parcial mixta numérica \( f_{xy}(2.8, 2.2) \) resulta en un valor complejo:

\[
f_{xy}(2.8, 2.2) \approx -0.0676 + 0.1167i
\]

Esto indica que para los valores específicos de \( x = 2.8 \) y \( y = 2.2 \), la derivada mixta tiene una componente imaginaria, lo cual puede ser un resultado de la naturaleza de la función dada.

---

¿Te gustaría más detalles sobre este cálculo o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas que podrías explorar:

1. ¿Cómo afecta la elección de \( x \) y \( y \) al resultado de la derivada mixta?
2. ¿Qué significa obtener un valor complejo al calcular una derivada parcial?
3. ¿Cómo se podría interpretar el valor imaginario en el contexto de esta función?
4. ¿Cuáles son las condiciones bajo las cuales \( f_{xy}(x, y) \) podría ser puramente real?
5. ¿Podríamos verificar si hay un error en la simplificación inicial?

**Tip**: Para evitar obtener resultados complejos, a veces es útil verificar si las expresiones bajo raíces o logaritmos pueden producir valores negativos o indefinidos.

Explore the partial derivatives of the function f(x,y) = √(5x^(-3) - y^(-1)) - (Ln((9x^2 + 3y^2)^2))/e - 3.3e^(0.005x - 2). Includes step-by-step solutions and numerical computation of the partial derivative f_xy(2.8, 2.2). Suitable for advanced college-level mathematics.

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