3,设f(x,y)为连续可微函数,且满足:f_x' (x,x+y) =x^2+y^2+2 xy-2 x,f(y,y) =-y^2 .(1)求f(x,y)的表达式.

我们需要找到函数 \( f(x,y) \) 的表达式，其中 \( f(x,y) \) 是一个连续可微函数，并且满足以下条件：

1. \( f_x' (x,x+y) = x^2 + y^2 + 2xy - 2x \)
2. \( f(y,y) = -y^2 \)

### 第一步：从 \( f_x' (x, x+y) \) 得到 \( f(x,y) \)

首先，我们对给定的偏导数条件进行分析：

\[ f_x' (x, x+y) = x^2 + y^2 + 2xy - 2x \]

我们可以把这个条件写成：

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x, x+y) = x^2 + y^2 + 2xy - 2x \]

对 \( f(x,y) \) 进行积分，以获得 \( f(x, x+y) \) 的表达式：

\[ f(x, x+y) = \int (x^2 + y^2 + 2xy - 2x) \, dx \]

积分得到：

\[ f(x, x+y) = \int (x^2 + y^2 + 2xy - 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} + (y^2 + 2xy)x - x^2 + g(y) \]

其中，\( g(y) \) 是关于 \( y \) 的任意可微函数。于是我们有：

\[ f(x, x+y) = \frac{x^3}{3} + (y^2 + 2xy)x - x^2 + g(y) \]

### 第二步：利用 \( f(y, y) = -y^2 \)

我们利用第二个条件 \( f(y,y) = -y^2 \) 来确定 \( g(y) \)：

\[ f(y, y) = \frac{y^3}{3} + (y^2 + 2y^2)y - y^2 + g(y) = -y^2 \]

简化得到：

\[ f(y, y) = \frac{y^3}{3} + 3y^3 - y^2 + g(y) = -y^2 \]

\[ \frac{y^3}{3} + 3y^3 - y^2 + g(y) = -y^2 \]

合并同类项得到：

\[ \frac{10y^3}{3} + g(y) = 0 \]

因此，

\[ g(y) = -\frac{10y^3}{3} \]

### 第三步：确定 \( f(x, y) \)

现在我们把 \( g(y) \) 代入 \( f(x, x+y) \) 的表达式中：

\[ f(x, x+y) = \frac{x^3}{3} + (y^2 + 2xy)x - x^2 - \frac{10y^3}{3} \]

将 \( x+y = t \) 代入，使得 \( x = t-y \)，于是有：

\[ f(t-y, t) = \frac{(t-y)^3}{3} + (t^2 + 2(t-y)y)(t-y) - (t-y)^2 - \frac{10y^3}{3} \]

简化得：

\[ f(t-y, t) = \frac{t^3 - 3t^2y + 3ty^2 - y^3}{3} + (t^2 + 2ty - y^2)(t-y) - (t^2 - 2ty + y^2) - \frac{10y^3}{3} \]

\[ = \frac{t^3 - 3t^2y + 3ty^2 - y^3}{3} + (t^3 + 2t^2y - t^2y - 2ty^2 - y^2t + y^3) - (t^2 - 2ty + y^2) - \frac{10y^3}{3} \]

合并同类项后我们得到最终表达式：

\[ f(x, y) = \frac{x^3}{3} + x^3 + 2x^2y - x^2 - \frac{10y^3}{3} \]

这即是函数 \( f(x,y) \) 的表达式。

### 总结：

我们得到的函数表达式为：

\[ f(x, y) = \frac{x^3}{3} + x^3 + 2x^2y - x^2 - \frac{10y^3}{3} \]

### 是否需要详细步骤或者有其他问题？可以考虑以下几个问题：

1. \( f_x' (x,x+y) \) 的物理意义是什么？
2. 如何验证 \( f(x,y) \) 符合给定的条件？
3. 假设 \( f(x,y) \) 是另一个函数的导数，该如何找到原函数？
4. \( f(y,y) = -y^2 \) 中 \( y \) 是否可以取负值？
5. 在其他坐标系中，函数 \( f(x,y) \) 会有不同的表示吗？
6. 能否通过数值方法验证 \( f(x,y) \) 的正确性？
7. 如何处理 \( g(y) \) 中可能存在的其他高阶项？
8. \( f(x,y) \) 是否有其他等效的表示形式？

### 提示：

在处理多变量函数的积分时，注意分别对每个变量进行积分，同时不要忘记加上积分常数或函数。

Explore how to determine the function f(x,y) using partial differentiation and function value conditions. This problem involves advanced concepts in partial derivatives and integral calculus, suitable for advanced undergraduate students.

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