Vérifie si (1,1,1) et (-1,0,1) sont des bases de l'image de l'application: (x,y,z,t) -> (x+y+3z-3t, x-y+z+t, x+2z-t)

Pour vérifier si les vecteurs \((1, 1, 1)\) et \((-1, 0, 1)\) forment une base de l'image de l'application linéaire définie par \((x, y, z, t) \mapsto (x+y+3z-3t, x-y+z+t, x+2z-t)\), nous devons suivre les étapes suivantes :

### Étape 1: Déterminer l'image de l'application linéaire
L'application linéaire est définie par :
\[
(x, y, z, t) \mapsto (x+y+3z-3t, x-y+z+t, x+2z-t)
\]
Pour déterminer l'image de cette application, il faut examiner la matrice associée à cette transformation.

### Étape 2: Calculer la matrice de l'application linéaire
Les coefficients de la matrice correspondant à cette transformation sont obtenus en appliquant la transformation aux vecteurs de base \((1, 0, 0, 0)\), \((0, 1, 0, 0)\), \((0, 0, 1, 0)\), et \((0, 0, 0, 1)\) de \(\mathbb{R}^4\).

1. Image de \((1, 0, 0, 0)\) :
   \[
   (1+0+3(0)-3(0), 1-0+0+0, 1+2(0)-0) = (1, 1, 1)
   \]

2. Image de \((0, 1, 0, 0)\) :
   \[
   (0+1+3(0)-3(0), 0-1+0+0, 0+2(0)-0) = (1, -1, 0)
   \]

3. Image de \((0, 0, 1, 0)\) :
   \[
   (0+0+3(1)-3(0), 0-0+1+0, 0+2(1)-0) = (3, 1, 2)
   \]

4. Image de \((0, 0, 0, 1)\) :
   \[
   (0+0+3(0)-3(1), 0-0+0+1, 0+2(0)-1) = (-3, 1, -1)
   \]

La matrice de l'application linéaire est donc :
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & -3 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\]

### Étape 3: Déterminer le rang de la matrice
Le rang de la matrice \(A\) nous donne la dimension de l'image de l'application. Si le rang est 2, alors il y aura deux vecteurs indépendants qui forment une base de l'image.

Calculons le rang de la matrice \(A\) en utilisant la méthode de réduction par les lignes (échelonnement).

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & -3 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\]

Soustrayons la première ligne des deuxième et troisième lignes :

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & -3 \\
0 & -2 & -2 & 4 \\
0 & -1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]

Ensuite, multiplions la deuxième ligne par \(-\frac{1}{2}\) :

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & -3 \\
0 & 1 & 1 & -2 \\
0 & -1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]

Ajoutons la deuxième ligne à la troisième :

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & -3 \\
0 & 1 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Le rang de la matrice est 2, donc l'image est de dimension 2.

### Étape 4: Vérification si \((1, 1, 1)\) et \((-1, 0, 1)\) sont une base
Les vecteurs \((1, 1, 1)\) et \((-1, 0, 1)\) sont-ils linéairement indépendants?

Nous avons déjà vu que ces vecteurs sont linéairement indépendants. Puisque l'image a une dimension de 2 et que ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils forment bien une base de l'image de l'application.

### Conclusion
Oui, les vecteurs \((1, 1, 1)\) et \((-1, 0, 1)\) forment une base de l'image de l'application linéaire donnée.

---

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions?

Voici 8 questions supplémentaires en lien avec ce problème :

1. Comment trouver l'image d'une application linéaire?
2. Quelles méthodes sont utilisées pour déterminer le rang d'une matrice?
3. Comment prouver l'indépendance linéaire de plusieurs vecteurs?
4. Quelle est la différence entre le rang d'une matrice et la dimension de son image?
5. Comment identifier une base de l'image d'une application linéaire?
6. Qu'est-ce que le noyau d'une application linéaire?
7. Comment trouver une base d'un sous-espace vectoriel?
8. Quelle est l'importance de l'indépendance linéaire dans la théorie des espaces vectoriels?

**Astuce :** Pour vérifier si des vecteurs forment une base d'un sous-espace, assurez-vous qu'ils sont linéairement indépendants et que leur nombre correspond à la dimension du sous-espace.

Explore how to verify if vectors (1, 1, 1) and (-1, 0, 1) form a basis of the image of a linear transformation defined by (x, y, z, t) -> (x+y+3z-3t, x-y+z+t, x+2z-t). This problem involves matrix operations, determining linear independence, and applying the rank-nullity theorem.

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