Determine los vectores característicos de una matriz cuya primera fila es [2 3] y segunda fila [1 4]

Para encontrar los vectores característicos (también conocidos como vectores propios o eigenvectores) de una matriz, primero necesitamos encontrar los valores característicos (o eigenvalores) de la matriz. Luego, utilizamos estos valores característicos para determinar los vectores característicos correspondientes.

Dada la matriz \( A \):

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
\]

### Paso 1: Encontrar los valores característicos
Los valores característicos \(\lambda\) se encuentran resolviendo el determinante de \( A - \lambda I \), donde \( I \) es la matriz identidad:

\[
\text{det}(A - \lambda I) = 0
\]

\[
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}
\]

El determinante es:

\[
\text{det}(A - \lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - (1)(3) = \lambda^2 - 6\lambda + 5
\]

Resolviendo la ecuación cuadrática:

\[
\lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0
\]

Usando la fórmula cuadrática:

\[
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
\]

Los valores característicos son:

\[
\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 1
\]

### Paso 2: Encontrar los vectores característicos
Para cada valor característico, resolvemos \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \) para encontrar el vector característico correspondiente.

#### Para \(\lambda_1 = 5\):

\[
(A - 5I) = \begin{pmatrix} 2-5 & 3 \\ 1 & 4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\]

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Esto nos da \( -3x + 3y = 0 \), que simplifica a \( x = y \).

Por lo tanto, un vector característico correspondiente a \(\lambda_1 = 5\) es:

\[
\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

#### Para \(\lambda_2 = 1\):

\[
(A - 1I) = \begin{pmatrix} 2-1 & 3 \\ 1 & 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\]

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Esto nos da \( x + 3y = 0 \), que simplifica a \( x = -3y \).

Por lo tanto, un vector característico correspondiente a \(\lambda_2 = 1\) es:

\[
\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

### Resumen
Los vectores característicos de la matriz \( A \) son:

\[
\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se encuentran los valores característicos de una matriz 3x3?
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**Tip:** Los vectores característicos pueden multiplicarse por cualquier escalar no cero y aún serán vectores característicos del mismo valor característico.

Learn how to find the eigenvectors of a matrix given its first row [2 3] and second row [1 4]. This problem covers eigenvalue calculations, determinant equations, and matrix transformations in linear algebra. Suitable for advanced high school students and beyond.

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