aplique el procedimiento Gram-Schmidt para ortonormalizar la base de R^2 B = {(1,1),(0,1)}

El procedimiento de Gram-Schmidt es una técnica para ortonormalizar un conjunto de vectores en un espacio vectorial. En este caso, vamos a ortonormalizar la base \( B = \{(1,1), (0,1)\} \) en \( \mathbb{R}^2 \).

### Paso 1: Seleccionar el primer vector de la base ortonormalizada
El primer vector de la base ortonormalizada \( u_1 \) es simplemente el primer vector de la base original, pero normalizado:

\[
u_1 = \frac{(1,1)}{\|(1,1)\|} 
\]

Primero, calculamos la norma de \( (1,1) \):

\[
\|(1,1)\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]

Por lo tanto:

\[
u_1 = \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\]

### Paso 2: Proyectar y ortogonalizar el segundo vector
Ahora, tomamos el segundo vector \( v_2 = (0,1) \) y le restamos su proyección sobre \( u_1 \):

\[
\text{Proyección de } v_2 \text{ sobre } u_1 = \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1
\]

Donde el producto interno \( \langle v_2, u_1 \rangle \) es:

\[
\langle v_2, u_1 \rangle = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

La proyección entonces es:

\[
\text{Proyección de } v_2 \text{ sobre } u_1 = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2}(1,1) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]

El vector ortogonalizado \( u_2' \) es:

\[
u_2' = v_2 - \text{Proyección de } v_2 \text{ sobre } u_1 = \left(0,1\right) - \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]

### Paso 3: Normalizar el vector ortogonalizado \( u_2' \)
Finalmente, normalizamos \( u_2' \) para obtener \( u_2 \):

\[
\|u_2'\| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Por lo tanto, el vector \( u_2 \) es:

\[
u_2 = \frac{u_2'}{\|u_2'\|} = \frac{\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\]

### Resultado final
La base ortonormalizada para \( B = \{(1,1), (0,1)\} \) es:

\[
\{ u_1, u_2 \} = \left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right), \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right\}
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se generaliza el proceso de Gram-Schmidt para espacios de mayor dimensión?
2. ¿Qué aplicaciones tiene la ortonormalización en la práctica?
3. ¿Cómo afecta la ortonormalización a la determinante de una matriz?
4. ¿Qué sucede si el conjunto inicial de vectores no es linealmente independiente?
5. ¿Cómo se puede implementar el proceso de Gram-Schmidt en un programa de software?

**Tip:** El proceso de Gram-Schmidt no solo ortogonaliza los vectores, sino que también puede ser utilizado para descomponer una matriz en una factorización QR.

Learn how to apply the Gram-Schmidt process to orthonormalize the basis B = {(1,1), (0,1)} in R^2. This detailed mathematical solution includes step-by-step calculations for vector normalization, projection, and orthogonalization. Suitable for advanced undergraduate students and those interested in linear algebra concepts.

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